Методы решений уравнений высших степеней

Опис документу:
Теме "Решение уравнений высших степеней" в современной программе уделяется недостаточное внимание, учащимся предлагается лишь несколько методов решений уравнений, да и то лишь в классах с углубленным изучением математики. Мало литературы по теме, в которой бы подробно рассматривались нестандартные методы, примеры решений, предлагались задания для самостоятельного решения с комментариями и ответами. Цель данной работы - помочь и учителям в организации работы, и ученикам, увлекающимся математикой

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

40

Введение

Обучение математике в средней школе должно быть развивающим, то есть обязано обеспечить развитие интеллекта, математической культуры, умение применять полученные знания. «Математика воспитывает в человеке интеллектуальную честность , объективность , стремление к постижению истины , а также способность к эстетическому восприятию мира , красоте интеллектуальных достижений , познание радости человеческого труда» (6,2). Математические знания и навыки необходимы практически во всех профессиях, прежде всего, конечно в тех, которые связаны с естественными науками, техникой и экономикой.

В концепции общего среднего образования подчеркивается: «ХХІ столетие – это время перехода к высотехнологичному информационному обществу, в котором качество человеческого потенциала, уровень образованности и культуры всего населения принимают решающее значение для экономического и социального продвижения страны» (8,13).

Человечеству предстоит решать столь трудные проблемы, что без широкого слоя образованных и культурных людей не справиться, поэтому каждый человек должен быть заинтересован в приобретении новых знаний.

Тема моей работы – решение уравнений высших степеней. Многие великие математики работали над этой важной темой. Азарт решить, стремление достичь цели становилось и становится всепоглощающей. Теория многочленов и уравнений высших порядков занимает важное место в алгебре и математике в целом. Многие задания математических олимпиад содержат многочлены и уравнения. Работая несколько лет подряд в классах с профильным изучением математики, при изучении темы «Многочлены с одной переменной», я столкнулась с тем, что, на мой взгляд, изложение этого материала в учебнике Н.И.Шкиля «Алгебра и начала анализа. 10» для классов с углубленным изучением математики не достаточно четко, конкретизировано. Мне хотелось бы видеть материал более структурированным и систематизированным по различным типам уравнений и методам их решений, иметь больше однотипных упражнений для работы с учащимися. Поэтому уже несколько лет я собираю и обобщаю различные методы решений уравнений высших степеней, подбираю к каждому типу уравнений дидактические задания. В программе 10 класса с профильным изучением математики для изучения этой темы отведено немного часов (6-10), и только четкость в изложении учебного материала помогает сформировать у учащихся необходимые знания, умения и навыки, которые потом используются при изучении других тем школьного курса (например при решении неравенств высших степеней и др.), при подготовке к поступлению в высшие учебные заведения, при подготовке учащихся к олимпиадам.

Цель работы – изучить различные методы решений уравнений высших степеней, систематизировать учебный материал, подобрать дидактический материал ко всем разделам.

Задачи работы – ознакомиться с изложением данной темы в различных учебниках и в литературе для подготовки абитуриентов в высшие учебные заведения, для подготовки учащихся к математическим олимпиадам; изучить опыт коллег; использовать полученные знания для проведения уроков и факультативных занятий; оформить работу так, чтобы она служила своеобразным конспектом-учебником для ребят, внести ее в компьютерную школьную библиотеку для того, чтобы заинтересованные учащиеся могли работать по теме самостоятельно.

Работа состоит из трех глав. В первой вводной главе содержатся общие сведения об уравнениях, т.е. тот теоретический материал, который учащиеся должны знать для успешного понимания последующих разделов. Вторая глава содержит изложения различных методов решения уравнений высших степеней с примерами и упражнениями для самостоятельного решения. Третья глава посвящена рассмотрению некоторых видов рациональных уравнений и методов их решений, эта глава предназначена для подготовки учащихся к олимпиадам и вступительным экзаменам в ВУЗы.

Решению уравнений высших степеней посвящено много методической литературы:

1) Мне очень нравится книга из «Библиотеки журнала «Математика в школах Украины» учебное пособие «Алгебра и начала анализа. 10 класс» авторов М.М.Ковтонюк, В.А.Ясинского и Г.Н.Ковтонюк. сборник предназначен для учащихся 10 классов физико-математических лицеев и гимназий. состоит из 12 параграфов. Задачи каждого параграфа разделяются по методам и типам задач, приводятся примеры с подробными объяснениями. Задачи для самостоятельного решения дифференцированы по трем уровням сложности. В конце каждого параграфа рассматриваются олимпиадные задачи с детальным объяснением.

2) Много полезного для подготовки учащихся к олимпиадам содержится в книге авторов О.А.Сараны и В.В.Ясинского «Конкурсные задачи повышенной сложности по математике», которая рекомендована в качестве учебного пособия для слушателей ФДП НТУУ «КПИ». Цель данного пособия – ознакомить слушателей факультета довузовской подготовки с разнообразными нестандартными методами решений конкурсных задач повышенной сложности, проиллюстрировать широкие возможности использования хорошо усвоенных школьных знаний.

3) Помогает подобрать дидактический материал пособие для школьников и абитуриентов «Алгебраический тренажер» авторов А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонского, М.С.Якира. Книга построена по схеме «ключевая задача + упражнения». В каждой теме есть базисные (опорные) задачи, идея решения которых группирует вокруг них целый класс аналогичных задач.

4) По многим разделам математики помогает справочное пособие «Задачи по математике. Алгебра» авторов В.В.Вавилова, И.И.Мельника и др. Справочник создан на основе курса математики подготовительного отделения МГУ. Изложение методов решения задач сопровождается необходимыми теоретическими сведениями и разбором примеров, по каждой теме приводятся упражнения для закрепления и более глубокого ее усвоения.

5) В работе мне очень помогла статья в журнале «Математика в школе» № 10\2006 авторов В.А.Ясинского и Н.Мельника «Методика решения рациональных уравнений четвертой степени», в которой рассмотрены как стандартные, подробно изложенные методы решений уравнений, так и нестандартные. Эта статья – основа третьей главы данной работы.

Глава І. Общие сведения об уравнениях

1.1 Корень уравнения. Равносильные уравнения

Известный немецкий математик Курант писал: «На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики входило необходимой составной частью в интеллектуальный инвентарь каждого образованного человека»(4, 35). И среди этих знаний было умение решать уравнения.

Уравнение - аналитическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называются обычно неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, - решениями, или корнями, уравнения. О таких значениях неизвестных говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.

Примеры

х3 + х = 0 — один корень: х = 0.

(х2 + х – 12) . = 0 —два корня: х = -3, х = 3.

Ѕіn(πx) =0 — бесконечное число корней х Z.

х2 + 2х + 1 = (х + I)2 — верно при всех х R.

х2 = х2 + 1 — нет корней (пустое множество корней ø).

Совокупность решений данного уравнения зависит от области М значений, допускаемых для неизвестных. Уравнение может не иметь решений в М, тогда оно называется неразрешимым в области М. Если уравнение разрешимо, то оно может иметь одно или несколько, или даже бесконечное множество решений. Например, уравнение x4 – 4 = 0 неразрешимо в области рациональных чисел, но имеет два решения: x1 = , x2 = - в области действительных чисел и четыре решения: x1 = =, x2 = -, x3 = i, x4 = -i   в области комплексных чисел. Уравнение sin x =0 имеет бесконечное множество решений: xk = k, k = 0, 1, 2, …, в области действительных чисел.

Если уравнение имеет решениями все числа области М, то оно называется тождеством в области М.

Два уравнения называются равносильными, если каждое решение одного уравнения является решением другого, и наоборот, причём оба уравнения рассматриваются в одной и той же области.

Примеры

х2 = х + 2 и х2х – 2 = 0 равносильны.

х4 + 2 = -16 и ЅіnЗх = 2 равносильны.

= 2х – 6 и х = (2х – 6)2 неравносильны.

Процесс разыскания решений уравнения заключается обычно в замене уравнения равносильным. Замена уравнения равносильным основана на применении четырёх аксиом:

  1. Если равные величины увеличить на одно и тоже число, то результаты будут равны.

  2. Если из равных величин вычесть одно и тоже число, то результаты будут равны.

  3. Если равные величины умножить на одно и тоже число, то результаты будут равны.

  4. Если равные величины разделить на одно и тоже число, то результаты будут равны. (3,57)

В некоторых случаях приходится заменять данное уравнение другим, для которого совокупность корней шире, чем у данного уравнения. Поэтому, если при решении уравнения делались действия, могущие привести к появлению посторонних корней, то все полученные корни преобразованного уравнения проверяют подстановкой в исходное уравнение.

Неравносильные преобразования могут привести к:

потере корня

х(х + 5) = 2х

х+ 5 = 2

х=-3

Потерян корень х = 0.

правильное решение:

х2 + 5х – 2х = 0

х2 + Зх = 0

х(х + 3) = 0

х = 0; х = -3

появлению «посторонних» корней

х2 + х – 1 = 4х – 3

х2 – 3х + 2 = 0

х = 1 и х = 2

«Посторонний» корень х =1

Правильное решение:

Ответ: х = 2.

1.2 Общие методы решения алгебраических уравнений

Разложение на множители

Произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них ноль, а остальные при этом существуют.

Ответ: 0; 1; 2.

Замена переменной

Ответ: -2; 0.

Использование монотонности

2х + 5х = 29.

Функция f(х) = 2х + 5х возрастает; f(2) = 29 => х = 2 — единственный корень. Ответ: 2.

Сравнение обеих частей по величине

Использование однородности

3(х + 8)2 – 4(х +8)(х2 +2х + 2) + (х2 + 2х + 2)2 = 0.

Пусть х + 8 = а; х2 +2х + 2 =в. Тогда 3а2 – 4ав +в2 = 0,

.

х + 8 = х2 + 2х + 2 или 3х + 24 = х2 + 2х + 2

х2 + х – 6 = 0 х2х – 22 = 0

х1 = -3; х2 = 2

Ответ: -3; 2; .

1.3 Некоторые теоремы, которые необходимо знать, чтобы решать уравнения высших степеней

Рассмотрим уравнение n-ной степени Pn(x)=0 (1)

где Pn(x)=a0xn+a1xn-1+…+anмногочлен n-ной степени.

При решении уравнения (1) используют утверждения о корнях многочлена:

1. Основная теорема алгебры (или теорема Безу). Любой многочлен степени n1 с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.

Замечание: из основной теоремы следует, что любой многочлен Pn(z) степени n1 с комплексными коэффициентами раскладывается в произведение линейных множителей , где – корни уравнения Pn(z)=0. Если некоторое число встречается в последовательности корней k раз, то говорят, что уравнение имеет корень k-ой кратности.

2. Многочлен n-ной степени имеет не более n действительных корней (с учётом их крайности)

Из (1) и (2) следует, что любой многочлен степени n1 с действительными коэффициентами можно разложить в произведение линейных двучленов и квадратных трёхчленов с действительными коэффициентами и отрицательными дискриминантами.

3. Многочлен нечётной степени имеет хотя бы один действительный корень.

4. Теорема Виета. Если - действительные корни многочлена Pn(x), то имеют место следующие равенства:

5. Если Pn(x)= Qm(x)Kl(x), то каждый корень многочлена Pn(x) есть корень хотя бы одного из многочленов Qm(x) и Kl(x), а каждый корень многочленов Qm(x) и Kl(x) является корнем многочлена Pn(x).

6. Следствие из теоремы Безу: Если a – корень многочлена Pn(x), то Pn(x)=(x-a)Qn-1(x)

Глава ІІ. Методы решения уравнений высших степеней.

    1. Метод подбора рациональных корней

2.1.1 Изложение метода

Самый распространённый метод, основан на переборе чисел, среди которых возможны рациональные корни.

Для того, чтобы несократимая дробь (p – целое, q – натуральное) было корнем многочлена с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было делителем свободного члена an, а число q – делителем старшего коэффициента a0.

В частности, если многочлен Pn(x) имеет целые коэффициенты и a0=1, то рациональными корнями такого многочлена могут быть только целые числа, которые являются делителями свободного члена an.

Пример 1. Найти корни многочлена

Решение. Ищем рациональные корни в виде , где p – делители свободного члена (p є Z), qделители старшего коэффициента (qє N).

p может принимать значения -1;1;-2;2.

q может принимать значения 1;2.

Таким образом рациональными корнями данного многочлена могут быть только следующие числа: -2;-1;-1/2;1/2;1;2.

Проверим делимость P(x) на x-a с помощью схемы Горнера (a - возможный корень)

2

1

-4

-2

1

2

3

-1

-3

-1

2

-1

-3

1

2

2

5

6

10

-2

2

-3

2

-6

1/2

2

2

-3

-3,5

-1/2

2

0

-4

0

х=1 – не корень

х=-1 – не корень

х=2 – не корень

х=-2 – не корень

х=1/2 – не корень

х=-1/2 – корень.

Значит , где

Остальные морни многочлена Р(х) – это множество корней многочлена Q(x):


Ответ:

Пример 2. Решить уравнение (на множестве вещественных чисел)

Решение. Пусть несократимая дробь является корнем данного уравнения. Число p может принимать значения а число q – значения 1 и 2.

Значит, рациональными корнями данного многочлена могут быть

Проверим корни при помощи схемы Горнера:

2

-1

2

3

-2

1

2

1

3

9

≠0

-1

2

-3

5

-2

0

-1

2

-5

10

≠0

2

2

1

7

≠0

-2

2

-7

19

≠0

½

2

-2

4

0

х=-1 – корень.

Находим корни (в этой же таблице):

х=1/2 – корень. .

Решаем

Ответ:

Замечание. Если при решении уравнения Pn(x)=0 выяснилось, что не является корнем, а – корень и данное уравнение раскладывается в произведение , то при решении уравнения =0 более проверять не нужно (оно не может быть корнем), но нужно проверить, так как корень может быть кратным.

2.1.2 Упражнения:

1. Решить уравнения ( методом подбора рациональных корней)

Ответы: 1) {-2;2;25}; 2) {-3;3;1/3};

3) {1;-2;-5/3}; 4) {-1;1;1/2};

5)

Решение 6).

2

-9

8

15

-28

12

1

2

-7

1

16

-12

0

1

2

-5

-4

12

0

1

2

-3

-7

≠0

-1

2

-7

3

≠0

2

2

-1

-6

0

Ответ:

2. Разложить многочлен на множители:

Ответы:

3. Сократить дробь

Решение

Значит можно сократить или на х+3 или на х+1. Применяя схему Горнера, находим, что выражение делится на х-3 и не делится на х+3.

1

0

5

0

0

6

-3

1

-3

14

-42

126

≠0

-1

1

-1

6

-6

6

0


Р(х) делится на х+1 и

Значит

Ответы:

2.2. Метод разложения на множители

Нахождение корней многочлена представляет собой в общем случае непростую задачу, однако, в тех случаях, когда многочлен Pn(x) разложен в произведение многочленов, степень каждого из которых не больше 2, эту задачу удаётся решить полностью, т.к. множество корней многочлена Pn(x) совпадает с множеством корней его делителей.

Пример 1. Найти корни многочлена:

а) ; б).

Решение. а) Поскольку , то корнями данного многочлена есть

б) Поскольку и дискриминант квадратного трёхчлена отрицательный, то данный многочлен имеет единственный действительный корень x=2.

Способы разложения на множители: группировка слагаемых, метод подбора рациональных корней и разложение при помощи следствия из теоремы Безу (ознакомлены выше), метод неопределённых коэффициентов.

2.2.1 Способ группировки

Способ группировки рассматривается ещё в курсе алгебры 7 класса. Если многочлен легко раскладывается на множители при помощи группировки слагаемых, то решение уравнения =0 сводится к решению совокупности более простых уравнений.

Пример 2. Решить уравнение

Решение.

Легко заметить, что

Значит, решение данного уравнения сводится к решению совокупности

Откуда

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение

Решение.

Ответ: .

Интересно применение способа группировки разложения на множители для решения симметрические уравнений третьей степени. Рациональное уравнение третьей степени называется симметрическим, если оно имеет вид: .

Для решения этого уравнения преобразуем многочлен, стоящий в левой части уравнения. Имеем следующую цепочку тождественных преобразований:

Отсюда получаем .

Получили совокупность уравнений, равносильную исходному кубическому уравнению. Решение этой совокупности легко находится, поскольку она содержит линейное и квадратное уравнения.

Пример 4. Решить уравнение

Решение.

.

Отсюда

.

Ответ: .

2.2.2 Метод неопределённых коэффициентов

Рассмотрим применение метода неопределённых коэффициентов для разложения на множители многочлена четвёртой степени.

Пример 5. Решить уравнение

Решение.

Попробуем подать уравнение в виде , где a, b, c, d – числа (коэффициенты), для которых имеет место тождество:

Раскрывая скобки в правой части этого тождества, после приведения общих множителей получаем:

Приравнивая соответствующие коэффициенты левой и правой части этого тождества, мы получаем следующую систему уравнений:

(1)

Попробуем найти целые решения этой системы. При таком предположении четвёртое уравнение системы даёт нам следующие значения для b и d:

b

1

6

-1

-6

2

3

-2

-3

d

6

1

-6

-1

3

2

-3

-2

В случае, если b=1, а d=6 наша система перепишется так:

Но эта система не имеет решений в целых числах, так как разность первого и третьего уравнений даёт 5a=17, что невозможно при целом a. Рассмотрев аналогично следующие шесть случаев для b и d, увидим, что полученные системы, которые следуют из (1), не имеют решения в целых числах.

Рассмотрим последний случай, когда b=-3, а d=-2. В этом случае наша система перепишется так:

Решением этой системы является пара a=-3 и c=-2.

Найденные решения системы (1) дают нам такое разложение на множители:

Таким образом, данное уравнение равносильно такой совокупности:

Решив эти уравнения, находим

.

Замечание. Обратите внимание на то, что старший коэффициент решённого нами уравнения равнялся 1. Такие уравнения называют приведенными.

В следующем примере показывается, как неприведенное уравнение привести к приведенным.

Пример 6. Решить уравнение

Решение.

Умножим обе части уравнения на такое целое число, чтобы старший коэффициент – коэффициент при - был четвёртой степенью целого числа, то есть на 3, потому что 3*27=34. Получим такое равносильное уравнение:

.

Введя замену , мы получаем приведенное уравнение четвёртой степени с целыми коэффициентами:

Применяя предыдущий метод неопределённых коэффициентов, мы получаем такое тождество:

.

Данное уравнение равносильно совокупности:

Решив эти уравнения, находим

.

Ответ:

Можно применять метод неопределённых коэффициентов и не приводя исходное уравнение.

Пример 7.Решить уравнение

Решение.

Пользуясь методом неопределённых коэффициентов:

Получаем систему уравнений (приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменных):

Пытаясь подобрать целые корни системы, рассматриваем случаи:

или

Таким образом, имеем разложение:

И корнями уравнения есть корни совокупности

Решая уравнения, получаем:

Ответ:

Замечание. Конечно, метод неопределённых коэффициентов громоздок. Но он применим всегда, даже когда другие методы не приводят к возможности решить уравнение (например, метод подбора рациональных корней показал, что уравнение не имеет рациональных корней; уравнение не является симметрическим и т.п.)

2.2.3 Упражнения

1. Решите уравнение, разложив левую часть на множители способом группировки:

2. Решите уравнение, разложив левую часть на множители методом неопределённых коэффициентов:

3. Решите уравнение двумя способами: методом подбора рациональных корней и методом неопределенных коэффициентов

    1. Решение уравнений третьей степени по формуле Кардано

2.3.1 Изложение метода

Кубическое уравнение - алгебраическое уравнение третьей степени. Общий вид :

ax3 + bx2 + cx + d = 0,

где а  0. Заменяя в этом уравнении х новым неизвестным у, связанным с х равенством х = у— b/3a , уравнение можно привести к более простому (каноническому) виду:

y3 + py + q = 0,

  где p =-b2/3a2 + c/a, q =2b/27a3 - bc/3a2 + d/a,

решение этого уравнения можно получить при помощи формулы Кардано:

> 0 – уравнение имеет один действительный и два комплексных корня;

= 0 – уравнение имеет два действительных и ни одного комплексного корня – вернее, три действительных, но два из них совпадают ( кратный корень);

< 0 – три действительных различных корня (формула Кардана не применима).

Замечание. Понятно, что с нахождением хотя бы одного корня, проблему решения уравнения третье степени можно считать решенной. Но, помня, что операция взятия корня третье степени на множестве вещественных чисел приводит к получению трех различных значений, то по формуле Кардано можно вычислить все три корня кубического уравнения. (4, 56-58)

2.3.2 Историческая справка

Интересна история возникновения формулы, история науки о решении уравнений третьей и выше степеней. (4, 58-61)

Чернец францисканского ордена Лука Пачолли (около 1445-1515) в своей работе «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношений и пропорций»(1477) раскрывает теорию решения линейных и квадратных уравнений, а относительно уравнений высших степеней он пишет: «Искусством алгебры ещё не найден способ решения, как не найден способ для квадратуры круга». Авторитет Пачолли привёл к тому, что долгое время проблему решения уравнений высших степеней упускали, вроде её и не существовало. Первым храбрецом, который переступил это табу, оказался профессор математики из университета в италийском городе Болоньи Сципион дель Ферро(1445 1526). Он нашёл способ решения кубических уравнений вида (1). Поскольку отрицательными числами тогда ещё не пользовались, то уравнения(2) и (3) существенно отличались как от (1), так и друг от друга. Поэтому для полного решения проблемы необходимо было найти отдельно способ для каждого из трёх видов. О своём открытии Ферро сообщил своему, как оказалось, значительно менее талантливому ученику Антонио Марио Фиоре. Последний после смерти учителя решил получить прибыль от доверенной ему тайны в виде наград (в то время значительных) за победы на популярных тогда интеллектуальных поединках, которые пришли на смену варварским средневековым рыцарским турнирам (времена изменились!). В конце 1534 года Фиоре вызывает на поединок математика из Венеции Николо Тарталью (около 1500-1557).Тарталья был выходцем из бедной семьи, рано остался без отца и из-за материального неблагополучия проучился в школе только две недели. К тому же ранение на гортани во время нападения французов сделало его на всю жизнь заикой. Тарталья (дословно «заикающийся») – кличка учёного; настоящая его фамилия Фонтано теперь мало кому известна. Всё это сказалось на характере Николо, резком и задиристом. Но феноменальные способности и титанический труд позволили обделённому судьбой Тарталье не только стать профессором математики в университете, но и достичь высот в науке.Получив вызов Фиоре в виде 30-ти однотипных задач на решение уравнений вида (1) при разных конкретных значениях а и b, Тарталья сначала хотел выкрыть соперника, обвинив в том, что тот и сам не может решить предложенные им задачи. Основанием для этого был всё тот же авторитет Луки Пачолли. «Я думал, - вспоминал позднее Тарталья, - что ни одна из этих задач не может быть решена, так как брат Лука заверяет в своей работе, что такого вида уравнения невозможно решить единой формулой». Когда же назначенный срок (длительностью 50 дней) подходил к концу, до Тартальи дошли слухи о том, что Фиоре всё-таки владеет таинственным способом для решения кубических уравнений. Поэтому, не обольщаясь перспективой угощать парадным обедом друзей победителя в количестве, которое было равно количеству нерешённых задач (такие были правила), Тарталья сконцентрировал все свои усилия на проблеме и за неделю, которая оставалась, нашёл способ решения не только вида (1), но и вида (2). Вскоре решения всех предложенных ему задач были переданы нотариусу. А противник не решил ни одной из задач, которые предложил Тарталья.Феноменальная победа Тартальи предалась огласке. Позже слухи о таинственном методе решения кубических уравнений дошли до чуть ли не самого удивительного учёного той эпохи Джироламо Кардано (1501-1576).Основной сферой деятельности Кардано была медицина. Он считался одним из самых великих врачей в Европе (возможно, вторым после своего великого приятеля Везалия) и пользовался покровительством коронованных

особ. На склоне лет Кардано написал автобиографическую книгу «О моей жизни», в которой детально описывает свои занятия медициной. А в свободное время он занимался «всем на свете» - философией, физикой, механикой, астрологией (в частности, составлял гороскопы и живым и мёртвым – Иисусу Христу, Петрарке, Дюреру, Лютеру, Папе Римскому, Везалию, и, конечно, себе самому), написанием и изданием книг (в том числе энциклопедических), в конце концов, - математикой.

В 1538 году Кардано закончил свою математическую работу «Практика общей арифметики», которая, по его замыслу, должна была прийти на смену «Суммы» Луки Пачолли. Но, услышав о секрете Тартальи, Кардано зажёгся желанием украсить им свою книгу. В январе 1539 г. он впервые обращается с этой просьбой к Тарталье, но тот отказывает ему. И все же позже Тарталья поддался на уговоры Кардано, и заручившись обещанием о неразглашении тайны без его (Тартальи) согласия, сообщил без доказательства готовый результат. Через четыре года (в 1543 г.) Кардано вместе со своим учеником Луиджи Феррари (1522-1565) посетил Болонью, где, ознакомившись с трудами покойного Ферро, узнает, что последний владел соответственным результатом раньше, чем Тарталья. Кардано, очевидно, решил считать себя свободным от клятвы. К тому же его ученик Феррари установил еще и способ решения уравнений четвертых степеней. Все это дало повод Кардано включить эти результаты в свой научный трактат «Великое искусство, или правила алгебры», который был опубликован в 1545 году. Тарталья был возмущен, он обвинил Кардано в нарушении присяги. В ответ на обвинения Кардано указывает на некоторые неточности в книге Тартальи «Проблемы и разные открытия» (1546), а потом вызывает его на публичный поединок-диспут. О самом поединке известно только, что состоялся он 10 августа 1548 года в Милане и что Тарталья проиграл.

Так закончилась эта великая драма научных идей и человеческих судеб. Совесть, наверное, часто напоминала Кардано о совершенной несправедливости. На старости лет в своей автобиографичной книге « О моей жизни» он несколько раз вспоминает о Никколо Тарталье. А на последних страницах читаем: «Сознаюсь, что в математике нечто, но в самом мизерном количестве, я перенял у брата Никколо».

Столетием позже великий немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) скажет: «Кардано был великим человеком при всех его недостатках; без них он бы был самим совершенством».

2.3.3 Пример решения уравнения третьей степени

На множестве вещественных чисел решить уравнение

Решение. Перейдем сначала к приведенному кубическому уравнению. Для этого введем замену переменной по формуле:

.

Подставляя это выражение в заданное уравнение, получим:

Далее используем формулу Кардано: , для корней приведенного кубического уравнения , где

Для каждого из параметров u,v имеем по три значения. Но комбинировать их в выражении можно только тремя способами (а не девятью, как кажется), так как произведение

Имеем:

Далее замечаем, что . Таким образом,

Возвращаясь к замене, окончательно получаем:

Ответ:

2.4 Метод замены переменных.

С этим методом учащиеся знакомятся ещё в восьмом классе. В десятом классе нужно обобщить учебный материал восьмых-девятых классов и расширить круг применения метода замены переменных, рассмотрев симметрические, возвратные и однородные уравнения, а также уравнения, решаемые при помощи симметризации и т.п.

2.4.1 Повторяем курс средней школы.

Для обобщения знаний, полученных в средней школе, уместно на уроках прорешать упражнения, связанные с очевидной заменой переменной:

Упражнения:

1. Решите уравнения, выполнив подходящую замену переменной:

а)

Решение.

Пусть . Тогда

Отсюда

Ответ:

2. Решить уравнения (уравнения вида и , где )

а)

Решение.

Непосредственной проверкой устанавливаем, что не является корнем данного уравнения. Разделим обе части уравнения на :

Замена . Отсюда

или . Имеем совокупность

Ответ:

      1. Симметрические и возвратные уравнения.

Методика и примеры решений

Симметрическое уравнение четвёртой степени имеет вид

, где а≠0. (10,89)

Понятно, что х=0 не является корнем. После деления почленного деления обеих частей уравнения на х2 , получаем

или

При помощи замены , а значит , мы получаем . Это уравнение квадратное относительно , а значит, решив его и вернувшись к замене, получим совокупность двух квадратных уравнений.

Пример 1. Решить уравнение

Решение.

Это уравнение является симметрическим. Так как х≠0, то поделив части уравнения на х2 и перегруппировав, получим:

.

Пусть , тогда

Решая квадратное уравнение , получаем корни:

Составляем совокупность и находим её решения:

Ответ:

Для решения симметрических уравнений третьей и пятой степеней применяется метод понижения степени.

Общий вид симметрических уравнений третьей степени

и пятой степени

Непосредственной проверкой убеждаемся, что является корнем каждого из этих уравнений. А значит, их можно представить в виде произведения , где - многочлен второй или четвёртой степени.

Пример 2.Решить уравнение

Решение.

В результате проверки выясняем, что является корнем уравнения. Разложив левую часть на множители, получим

Решим уравнение - симметрическое четвёртой степени.

Разделив обе части этого уравнения на (так как х=0 не является корнем уравнения) и заменив , получаем ещё корни:

Ответ:

Различают два вида возвратных уравнений: нечётной и чётной степеней, а именно:

(нечётной степени)

(чётной степени)

Например, уравнение является возвратным пятой степени, а уравнение - тоже возвратное , но уже шестой степени.

Возвратное уравнение нечётной степени всегда имеет корень (можно убедиться непосредственной подстановкой) и после разложения на множители сводится к решению возвратного уравнения чётной степени.

Пример 3. Решить уравнение

Решение.

Это возвратное уравнение . Очевидно, что . Делим обе части уравнения на :

Группируем

Замена: , тогда или . Таким образом уравнение имеет вид:

Возвращаемся к замене:

Ответ:

Упражнения:

      1. Однородные уравнения

Методика и примеры решений

Уравнение вида называется однородным уравнением второй степени относительно функций и .(1,65). Решают данное уравнение или как квадратное относительно одной из функций, или путём деления обеих частей уравнения на квадрат одной из этих функций, предварительно проверив, будет ли иметь данное уравнение корни, которые являются корнями функции-делителя.

Пример 4. Решить уравнение

Решение.

Способ 1.

Заменим и рассмотрим полученное уравнение как квадратное относительно :

Его корнями будут .

Таким образом, данное уравнение равносильно такой совокупности уравнений:

Откуда находим:

Способ 2.

Легко проверяется, что х=0 не является корнем данного уравнения. Поэтому поделим обе части на и получим:

, которое равносильно данному. Замена даёт квадратное уравнение , корнями которого будут числа А возвращение к замене даёт корни

Ответ:

Пример 5. Решить уравнение

Решение.

Преобразуем данное уравнение в однородный вид:

Далее, как и в предыдущем случае, возможны несколько вариантов решения. Приведём некоторые из них.

Способ 1.

Пусть

Имеем: . Решаем его как квадратное относительно и получаем, что . Таким образом или Получаем совокупность

Способ 2.

Проверим, является ли корень уравнения корнем исходного уравнения:

при имеем 64+0-0≠0. Значит, корень уравнения не является корнем данного уравнения.

Разделим обе части уравнения на :

После замены имеем , корни которого Исходное уравнение равносильно совокупности

Ответ:

Упражнения

2.4.5 Метод симметризации

Методика и примеры решений

Этот метод очень просто и красиво позволяет решать уравнения вида и уравнения вида , где и . (9,74)

Уравнение вида решается с помощью замены , приводится к биквадратному виду.

Пример 6. Решить уравнение .

Решение.

Симметризируем уравнение, введя новую переменную . Тогда .

Уравнение примет вид:

Возвращаясь к замене, получаем: .

Ответ: .

Для решения уравнения вида , , где и тоже применяется симметризирующая замена .

Пример 7. Решить уравнение .

Решение.

Симметризируем, вводя замену: . Тогда .

Уравнение примет вид:

или

Решая уравнение, находим, что . Следовательно .

Возвращаемся к замене и находим корни исходного уравнения .

Ответ: .

Замечание. Это уравнение легко можно было решить и при помощи замены переменной, сгруппировав скобки попарно:

Затем замена: . Уравнение сводится к квадратному.

В каком же случае уместнее и рациональнее симметризировать уравнение?

Решим следующее уравнение двумя способами, а затем выберем, какой из них оптимальнее.

Пример 8. Решить уравнение .

Решение.

Способ 1.

Группируем сомножители:

Вводим замену и получаем уравнение, которое сводится к квадратному:

Решая образовавшееся уравнение, получаем совокупность:

Способ 2.

Вводим симметризирующую замену

Имеем:

_____________________________________

Сравнивая два решения, делаем вывод, что в принципе они равны по сложности (хотя второе несколько рациональнее) .

Следующий пример покажет ситуацию, в которой метод симметризации намного проще:

Пример 9. Решить уравнение

Решение.

Способ 1.

Сгруппируем множители:

Вводим замену , тогда уравнение имеет вид:

Очевидно, что дальнейшее решение довольно громоздко и неудобно.

Способ 2.

Попробуем решить методом симметризации:

Для уравнения вводим симметризирующую замену .

И, возвращаясь к замене, получаем совокупность корней исходного уравнения:

_________________________

Вывод. Метод симметризации эффективен и упрощает решение. Но если - дробное, то его применение не рационально.

Упражнения

Решите уравнения:

Решение.

Пусть , тогда .

Имеем .

После возведения в степень и приведения подобных:

Замена , где

Тогда . Очевидно, что - корень.

. Так как , то единственный подходящий корень уравнения . Таким образом .

Ответ: .

Решение.

Применим замену , тогда уравнение принимает вид

Ответ: .

Решение.

Применяем замену

Тогда уравнение принимает вид:

Откуда . Значит , а или .

Ответ: .

Глава ІІІ Некоторые типичные рациональные уравнения

Рассмотрим некоторые алгебраические уравнения, для которых разработаны методы решений.

    1. Решение уравнений выделением полного квадрата.

Методика и примеры решений

Рассмотрим уравнение вида . (2,58-59)

Его можно решать несколькими способами, но самый удобный из них – выделение полного квадрата.

Для того, чтобы выделить в левой части данного уравнения полный квадрат следует прибавить и отнять выражение . Получим:

Замена даёт квадратное уравнение , решив которое мы возвращаемся к замене и находим корни исходного уравнения.

Пример 1.

Решить уравнение

Решение. Выделим полный квадрат в левой части исходного уравнения:

Замена даёт квадратное уравнение . Его корни . Возвращаемся к замене и получаем корни исходного уравнения:

Ответ:

Упражнения.

Решение.

Выделим полный квадрат:

Замена:

Тогда уравнение принимает вид:

Ответ: .

    1. Уравнения вида

Методика и примеры решений

Уравнения вида после деления числителя и знаменателя каждой дроби на и замены сводится к квадратному:

(2,65)

Пример 2. Решить уравнение

Решение.

Поскольку не является корнем данного уравнения, то, разделив числитель и знаменатель каждой дроби, стоящей в левой части на , получим уравнение, равносильное исходному:

Производим замену: . Тогда уравнение принимает вид:

Ответ: .

Упражнения

Решение.

Так как , то разделим числитель и знаменатель дробей, стоящих в левой части уравнения, на :

Применяем замену . Уравнение имеет вид:

Возвращаясь к замене, получаем:

Ответ: .

3.3 Искусственные квадратные уравнения

Некоторые рациональные уравнения четвёртой степени можно рассматривать как квадратные уравнения относительно его коэффициентов. При этом такие уравнения называют искусственными квадратными уравнениями. (12,42)

Пример 3. Решить уравнение

Решение.

Обозначим , тогда уравнение можно переписать так:

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно :

Решая это уравнение, получаем:

Возвращаясь к замене, получаем совокупность:

Решая эти квадратные уравнения, находим: .

Ответ: .

Если в предыдущем уравнении практически очевидной была замена, то в следующем это не столь заметно.

Пример 4. Решить уравнение

Решение.

Обозначим , тогда наше уравнение имеет такой вид:

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно :

Решая это уравнение и возвращаясь к замене, мы получим совокупность уравнений, решив которые, получаем

Ответ: .

3.4 Уравнения вида

Методика и примеры решений

Уравнения вида красиво решаются введением замены и рассмотрением системы уравнений (12,43)

Пример 5. Решить уравнение

Решение.

Данное уравнение равносильно такой системе:

Решим эту систему. Заменим первое уравнение системы разностью обоих уравнений, получим:

Откуда получаем совокупность двух систем:

или

Из первой системы получаем уравнение , а из второй - уравнение , (ведь нам нужно найти только ).

Решая эти уравнения, находим, что а .

Ответ: .

Упражнения

Решите уравнения вида :

Решение.

Пусть .

Рассмотрим систему:

Из первого уравнения:

Значит

Решением данной совокупности служат пары чисел .

Ответом уравнения служат значения .

Ответ: .

2) .

3.5 Использование свойств функции

Иногда очень уместно при решении уравнений использование таких свойств функций как знакопостоянство и монотонность.

Примеры

Пример 6. Решить уравнение

.

Решение.

Рассмотрим . Очевидно, что на всей области определения функция строго положительна. Значит уравнение не имеет решений.

Сформулируем важное утверждение, которым удобно пользоваться при решении уравнений вида , где и - функции разной монотонности.

Пусть функция возрастает (убывает) на промежутке , а функция убывает (возрастает0 или стационарна (равна некоторому числу) на этом промежутке. Тогда уравнение имеет не более одного действительного корня на промежутке . (11, 33)

Пример 7. Решить уравнение

Решение.

- возрастает на промежутке .

Значит - единственный корень.

Ответ:

Упражнения

Заключение

Данная работа представляет собой систематизированный подбор материалов по теме «Решение уравнений высших степеней». Перед автором стояли задачи : сгруппировать материал по отдельным видам уравнений, изложить методику их решений, сделать подборку дидактического материала. Я считаю, что эти задачи в данной работе выполнены, а следовательно достигнута цель работы : изучение и систематизация обучающих материалов по теме. Работа может быть использована для самостоятельного изучениями учащимися данной темы, т. к. содержит подробное изложение методов решения уравнений, примеров и упражнений с ответами и указаниями. Можно также использовать ее для проведения факультативных занятий и подготовки учащихся к олимпиадам.

Из государственного стандарта базового и полного среднего образования (5,3) :

«Основною метою освітньої галузі є:

опанування учнями системи математичних знань, навичок і умінь, необхідних у повсякденному житті та майбутній трудовій діяльності, достатніх для успішного оволодіння іншими освітніми галузями знань і забезпечення неперервної освіти;

формування в учнів наукового світогляду, уявлень про ідеї і методи математики, її роль у пізнанні дійсності;

інтелектуальний розвиток учнів (логічного мислення і просторової уяви, алгоритмічної, інформаційної та графічної культури, пам'яті, уваги, інтуїції)».

Изучение различных методов решений уравнений высших степеней способствует выполнению поставленных задач, а данная работа поможет и учителям, и ученикам.

Литература

  1. Алгебра та початки аналізу. 10 клас / Ковтонюк М.М., Ясінський В.А., Ковтонюк Г.М. –Х.: Вид. група «Основа», 2005. – 224с. – (Б-ка журн. «Математика в школах України»; Вип.. 7 (31)).

  2. Алгебраїчний тренажер: Посібник для школярів і абітурієнтів / Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. – К.: А.С.К., 1997. – 320с.

  3. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Алгебра: Справочное пособие. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.- 432с.

  4. Глейзер Г.И. Комплексные числа и многочлены // История математики в средней школе –М .: Просвещение, 1970. – 145с.

  5. Державний стандарт базової і повної середньої освіти //Математика в школі. – 2004. -№2. – С. 2-5.

  6. Звавич Л. Многочлены // Математика в школе . - № 1.-1998.-2-4с.

  7. Концепція загальної середньої освіти // Освіта України. – 2000.- №33. (26 серпня).

  8. Концепція математичної освіти 12-річної школи. // Математика в школі. – 2002. - №2.-С. 12-17.

  9. Сарана О.А., Ясінський В.В. Конкурсні задачі підвищенної складності з математики : Навчальний посібник для слухачів ФНП НТУУ «КПІ». – К.: НТУУ «КПІ», 2005. – 260 с. – (Серія «На допомогу абітурієнту»)

  10. Шкіль М.І., Колесник Т.В., Хмара Т.М. Алгебра і початки аналізу : Підруч. для учнів 10 кл. з поглибл. вивч. математики в серед. закладах освіти. – К.: Освіта, 2000. – 318 с.

  11. Ясинский В.А. Математика: Олимпиадные задачи. Выпуск 1. - Тернополь: Учебная книга – Богдан, 2003. – 40 с.

  12. Ясінський В.А., Мельник М.// Математика в школі. – 2006. - №10. – С. 39-44.

  • 06.08.2019
  • Особливості організації освітнього процесу у 2019/2020 навчальному році
  • Інші методичні матеріали
  • 879
  • 0
  • 6
  • Стежити

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з ФІЗИКИ залишилося:
0
4
міс.
0
2
дн.
2
2
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!