МЕТОДИКА РЕАЛІЗАЦІЇ ДИДАКТИЧНОГО ПРИНЦИПУ СВІДОМОСТІ І ТВОРЧОЇ АКТИВНОСТІ УЧНІВ ЧЕРЕЗ РОЗВ’ЯЗАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ ЗАДАЧ

Опис документу:
Підвищення ефективності навчання математики безпосередньо пов’язано з тим, наскільки повно враховуються особливості кожного учня. В умовах класно-урочної форми навчання рівень викладу матеріалу, темп, розрахований на середнього учня, не відповідають пізнавальним можливостям учнів з уповільненим темпом засвоєння і учнів з добрими здібностями до вивчення математики: перші відчувають зростаючі труднощі, а другі працюють без особливої напруги.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

МЕТОДИКА РЕАЛІЗАЦІЇ ДИДАКТИЧНОГО ПРИНЦИПУ СВІДОМОСТІ І ТВОРЧОЇ АКТИВНОСТІ УЧНІВ ЧЕРЕЗ РОЗВ’ЯЗАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ ЗАДАЧ

Диференційовані задачі як засіб інтенсифікації навчання математики

Підвищення ефективності навчання математики безпосередньо пов’язано з тим, наскільки повно враховуються особливості кожного учня. В умовах класно-урочної форми навчання рівень викладу матеріалу, темп, розрахований на середнього учня, не відповідають пізнавальним можливостям учнів з уповільненим темпом засвоєння і учнів з добрими здібностями до вивчення математики: перші відчувають зростаючі труднощі, а другі працюють без особливої напруги. У зв’язку з цим великої уваги заслуговують ті засоби, які надають можливість учням в умовах класно-урочної форми навчання проявити свої здібності і досвід. Все більшого поширення одержала диференціація навчання на уроці. При диференційованому підході до навчання математики реальною фактичною метою є оволодіння кожним учнем практичними вміннями і навичками на рівні, що в даний момент відповідає його навчальним можливостям. Диференціація навчання дозволяє вибрати такі методи, засоби навчання, які сприяють максимальному розвитку всіх учнів. Так як навчання математики переважно здійснюється при розв’язуванні математичних задач, то засобом інтенсифікації навчання мають виступати диференційовані задачі.

Враховуючи об’єктивно існуючі психолого-педагогічні відмінності в рівнях інтелекту, здібностях до засвоєння математичних знань, у темпах оволодіння програмним матеріалом і в умінні самостійно працювати, всіх учнів можна умовно розподілити по трьом рівням.

До першого рівня віднесемо учнів, що оволоділи програмним матеріалом, мають здібності до математики й високий темп навчання. Ці учні фактично засвоюють у процесі першого пояснення загальні схеми, алгоритм розв’язування типових задач, у багатьох випадках можуть самостійно знаходити розв’язування змінених або ускладнених задач.

До другого рівня віднесемо учнів, що мають середні математичні здібності та середній темп просування в навчанні, але які, завдяки своїй старанності й відповідальності, змогли досягти хороших результатів у навчанні математики. Способи розв’язування типових задач засвоюються цими учнями після розгляду 2 – 3 навчальних завдань. Розв’язування змінених і ускладнених задач знаходять, опираючись на вказівки вчителя.

Учні третього рівня не завжди досягають обов’язкових результатів навчання, мають суттєві прогалини в знаннях. Учні цього рівня мають низькі математичні здібності та низький темп просування у навчанні. Вони відчувають певні труднощі при засвоєнні нового матеріалу, потребують додаткових роз’яснень, обов’язковими результатами навчання оволодівають після тривалого тренування. Готовності до самостійного розв’язування ускладнених або змінених задач не виявлять.

Відповідно до цієї класифікації можна всі математичні задачі поділити на три види за рівнями. Задачами обов’язкового рівня складності повинні бути такі задачі, розв’язування яких вимагає простого відтворення відомих математичних фактів, законів, властивостей або ж застосування відомого алгоритму. Засвоєні знання під час розв’язування учні застосовують за зразком, діяльність їх є репродуктивною. Задачі підвищеного рівня вимагають більш вільного оперування засвоєними знаннями при аналізі задач, самостійної перебудови здобутих знань у рамках вивченого матеріалу. Ці задачі вимагають уміння аналізувати й використовувати аналогії, класифікувати і систематизувати, виводити наслідки, оперувати прийомами розумової діяльності. Задачі поглибленого рівня відповідають найвищому рівню засвоєння навчального матеріалу і потребують крім умінь, що характерні задачам підвищеного рівня, і пошукової, творчої діяльності.

Диференційовані задачі доцільно використовувати на певних етапах уроку. Таким чином, на етапі введення нового поняття, властивості, алгоритму вчителю необхідно працювати з цілим класом, без розподілу його за рівнем знань. Але після того, як декілька вправ виконано на дошці, учні можуть приступати до розв’язування диференційованих задач. Завданнями для учнів третього рівня є прості тренувальні вправи з покроковим збільшенням труднощів. На учнів другого рівня розраховані завдання комбінованого характеру, що потребують встановлення зв’язків між окремими компонентами курсу, і, для учнів першого рівня, використання нестандартних прийомів розв’язання. Слід зауважити, що в завданнях для третього рівня перехід від однієї вправи до іншої пов’язаний з невеликим варіюванням даних або з незначними ускладненнями формулювання завдання. Такий підхід дозволяє вирішити важливу дидактичну задачу – надати слабким учням можливість на кожному кроці долати тільки одну трудність. В завданнях для другого та першого рівнів складність зростає в значно більш високому темпі. Це дозволяє швидше пройти початковий етап формування відповідного вміння та вийти на ускладнені комбіновані завдання.

Думка про те, що учні третього рівня повинні розв’язувати тільки прості задачі, є невірною. Звичні способи розв’язання у слабких учнів нав’язливо відтворюються, заважають вести пошук у різних напрямках, сковує мислення, і в результаті гальмує розвиток. Тому вчителеві слід використовувати задачі з диференціацією підказки. Учнями всіх трьох рівнів може бути розв’язана одна і та ж складна задача, але міра допомоги вчителя кожному із рівнів буде різною.

Ця міра визначається специфікою кожного із п’яти етапів розв’язання задач:

  1. підготовка до розв’язування;

  2. пошук плану розв’язування;

  3. складання плану розв’язування;

  4. здійснення розв’язання;

  5. обміркування знайденого розв’язання (узагальнення знайденого способу розв’язання, формулювання евристичних прийомів, використаних при розв’язанні).

Учням першого рівня можливо надання допомоги тільки на другому та п’ятому етапах. Для учнів другого рівня може бути організована допомога на першому, другому і п’ятому етапах. Учні третього рівня потребують допомоги на всіх етапах розв’язання задачі, лише поступово на четвертому, потім на третьому етапі допомога та контроль вчителя послідовно послаблюється.

На деяких етапах повинна бути організована допомога учням різних рівнів. З учнями третього рівня можна пригадати необхідний матеріал, розв’язати підзадачі, до яких зводиться вихідна задача, розв’язати аналогічну, більш просту задачу з метою виявлення методу розв’язання. Учні другого рівня можуть спочатку розв’язати ключову підзадачу у процесі підготовки до розв’язування основної задачі. Потім вчитель допоможе їм звести вихідну задачу до вже розв’язаної продуманою системою питань.

Застосування в навчальному процесі комп’ютерів і прикладного програмного забезпечення дозволяє вчителю на уроках математики при розв’язуванні задач використовувати диференціацію підказки, причому учень за власним бажанням може отримати підказку на будь-якому етапі розв’язування задачі і у потрібному обсязі. Але оцінка буде тим вище, чим менше разів учень звертався по допомогу. Таким чином, сучасна техніка дозволяє реалізувати індивідуалізацію навчання при диференційованому підході при розв’язуванні математичних задач.

Роль проблемних задач в активізації розумової діяльності школярів

Ефективність математичних задач і вправ в значній мірі залежить від ступеня творчої активності учнів при їх розв’язуванні. Математичні задачі повинні перш за все збуджувати думку учнів, заставляти їх працювати, розвиватися, удосконалюватися. Розв’язуючи математичні задачі, учні не тільки виконують побудови, перетворення і запам’ятовують формулювання, а й навчаються чіткому мисленню, умінню міркувати, порівнювати і протиставляти факти, знаходити в них спільне і різне, робити правильні висновки. Вирішити ці питання допомагає проблемний підхід до навчання, бо, як зазначив С.Л.Рубінштейн: “Мислення починається з проблемної ситуації” [17: 114]. Усвідомлення характеру утруднення, недостатності запасу знань розкриває шляхи його подолання, яке полягає в пошуку нових знань, нових способів дій, а пошук – компонент процесу творчого мислення. Без такого усвідомлення не виникає потреби в пошуку, а, отже, не має і творчого мислення.

Математична задача, яка створює проблемну ситуацію, називається проблемною задачею. Термін “проблема” і “проблемна задача” інколи розуміють як синоніми; частіше ж як об’єкти, позначувані цими термінами, відрізняють за обсягом. Проблема розпадається на послідовність або розгалужену сукупність проблемних задач. Таким чином, проблемну задачу можна розглядати як найпростіший, окремий випадок проблеми, що складається з однієї задачі.

До проблемних задач відносять дослідницькі та евристичні задачі.

Розв’язування дослідницьких задач передбачає здійснення основних етапів дослідного процесу в спрощеній, доступній для учнів формі: встановлення невідомих (незрозумілих) фактів, що підлягають дослідженню; уточнення і формулювання проблемної задачі; висунення гіпотез; складання плану дослідження, здійснення плану дослідження; дослідження невідомих фактів та їх зв’язків з іншими, перевірка висунутих гіпотез; формулювання результату; оцінка значимості одержаного нового знання, можливостей його застосування. Важлива особливість дослідницьких задач полягає в тому, що в процесі розв’язування одних проблем постійно виникають нові.

Навчальне дослідження проводиться учнями під керівництвом, при особистій участі і за допомогою вчителя. Ця допомога повинна бути такою, щоб учні вважали, що вони самостійно досягли мети. Тому будемо розрізняти внутрішні і зовнішні підказки. Перші такі, що вони немовби добувають в учнів їх власні думки, другі, більш жорсткі, залишають учням тільки виконання технічної роботи, знімаючи потребу пошуку.

Цінна якість дослідника полягає саме в тому, щоб завжди шукати вичерпне розв’язання проблеми, тобто розглядати в процесі дослідження всі можливі випадки, які дають і різні розв’язки. З цією метою слід поступово формувати вміння визначати, які окремі випадки проблеми необхідно виділяти в дослідженні.

Другим видом проблемних задач є евристичні задачі, застосовуючи які вчитель об’єднує виклад ним нового матеріалу і творчий пошук учнів. Однак тут цей пошук не відноситься до процесу пізнання в цілому, як це має місце при розв’язуванні дослідницьких задач, а тільки до одного або до кількох його етапів. Тому евристичні задачі можна вважати частково дослідницькими. При розв’язуванні евристичних задач вчитель розчленовує завдання для досліджень на елементи, полегшуючи цим самим процес самостійної творчої діяльності учнів, і скорочує час для розв’язування проблемної задачі.

Слід зауважити, що ставити перед учнями потрібно доступні, посильні, цікаві та природні проблеми, у процесі викладу матеріалу на уроці пов’язувати нове й уже відоме, постійну увагу приділяючи спостереженню, експерименту, узагальненню, створивши атмосферу творчого пошуку, радості навчання. Залежно від матеріалу та підготовки класу слід використовувати різні рівні проблемності, зокрема, створивши проблемну ситуацію, показати шляхи її вирішення.

Проблемні ситуації, постановка проблемної задачі, висунення й доведення гіпотез можна практикувати під час вивчення нових понять, тверджень, розв’язування прикладів і задач. Створення проблемних ситуацій і розв’язання проблемних задач є перехідним моментом від актуалізації знань до вивчення нового матеріалу чи розв’язання вправ. Під час введення нових понять розв’язування проблемних задач призводить до виділення деяких об’єктів серед багатьох інших, пошуку їх видових відмінностей.

Розв’язування проблемних задач слід проводити не тільки перед вивченням нового матеріалу чи в процесі його вивчення, а й після його викладу. Тоді доцільно не тільки повторити формулювання чи доведення теореми, а й з’ясувати, як і де можна цей матеріал застосувати.

На всіх уроках з використанням проблемних задач учням доводиться міркувати, здогадуватися, багато самостійно розв’язувати, творчо застосовувати знання в нестандартних умовах, де нові знання не додаються до старих, а вростають у них, іноді вступають з ними в суперечність. Тому учні одержують міцніші знання й досягають кращих результатів, ніж тоді, коли сприймають матеріал у “готовому” вигляді.

Місце творчих завдань у діяльності шкільного вчителя математики

Творчу діяльність учнів необхідно спеціально організовувати, пропонуючи їм завдання, які потребують активності та самостійності думок, кмітливості, вміння швидко оцінювати ситуацію, тобто творчі.

Під творчими завданнями ми розуміємо такі навчальні завдання, розв’язування яких пов’язане з активною продуктивною діяльністю учнів, спрямованою на самостійне здобуття нових знань, з перенесенням наявних знань і вмінь у нові, нестандартні умови. Творчі завдання можуть мати різний зміст, різну фабулу, але об’єднує їх одне – творче розв’язування, в процесі якого учні рухаються власними, до цього часу невідомими їм шляхами, беруть участь у процесі самостійного створення нового, невідомого (відкриття певного факту, невідомого учням способу доведення). Розв’язання учнями творчих завдань забезпечується сформованими у них вміннями і навичками. Слід також зауважити, що у збереженні високої активної розумової діяльності на уроці відіграє мотивація, інтерес дитини до того, що вона робить.

Кожне творче завдання включає в себе етапи:

  • розвиток пізнавальної сфери;

  • розвиток творчого уявлення, творчого мислення;

  • розвиток деяких рис творчої особистості.

Відповідно до цього творчі завдання повинні задовольняти таким вимогам:

а) бути певною мірою складними для учня;

б) відповідати його пізнавальним можливостям;

в) мати нову фабулу та ідею розв’язування;

г) розвивати вміння учнів комбінувати із багатьох можливостей, синтезувати і зв’язувати ідеї оригінальним способом, вміння шукати, ставити і вирішувати проблеми.

Крім цього всю безліч творчих завдань об’єднує наступне:

  1. спосіб розв’язання творчих задач невідомий. Для їх розв’язання характерним є “броунівський рух думки”, тобто до розв’язання призводить метод випробувань та помилок. Пошукові спроби розв’язання можуть в окремих випадках скінчитися здогадкою, що являє собою знаходження шляху шуканого розв’язання;

  2. творчі завдання сприяють підтримці інтересу до предмету і відіграють роль мотиву до діяльності учнів. Незвичайність сюжету, способу презентації задачі знаходять емоційний відгук у дітей і ставить їх в умови необхідності її розв’язання;

  3. більшість творчих завдань складені на основі знань законів мислення.

Таким чином, систематичне використання творчих задач сприяє розвитку розумових операцій і формуванню математичних уявлень дітей. Пропонуючи учням творчі задачі, ми формуємо в них здібність виконувати розумові операції і одночасно розвиваємо їх.

Але поставлена мета буде досягнута лише в тому випадку, якщо в школі припинять використовувати творчі завдання як засіб заповнення дозвілля або розваг. Аналіз показує, що серед творчих завдань багато завдань суто учбового призначення, але поданих у нестандартній формі. Це і є критерієм при відборі задач. Крім цього, пропоновані учням задачі обов’язково повинні відповідати темі року або серії уроків. Розв’язувати їх можна і при поясненні нового матеріалу, і при закріпленні вивченого. При цьому ми досягаємо таких цілей:

  1. формування та подальший розвиток розумових операцій: аналізу, синтезу, порівняння, аналогій, узагальнення, класифікації тощо;

  2. розвиток та тренінг мислення взагалі та творчого зокрема;

  3. підтримка інтересу до предмету, до діяльності учнів взагалі, вважаючи, що унікальність творчої задачі є мотивом до учбової діяльності;

  4. розвиток якостей творчої особистості, таких як: пізнавальна активність, старанність, завзятість у досягненні мети, самостійність;

  5. підготовка учнів до творчої діяльності: маються на увазі такі параметри творчої діяльності, як творче засвоєння знань, способів дій, вміння переносити знання і вміння у незнайомі ситуації і бачення нової функції об’єкту.

ВИСНОВКИ

  1. В середній школі доцільно для підвищення ефективності навчання математики використовувати розв’язування диференційованих задач, яке передбачає залучення до активної пізнавальної діяльності представників усіх типологічних груп.

  2. Важливим засобом активізації розумової діяльності школярів виступають проблемні задачі дослідницького та евристичного характеру, що збуджують думку учнів, заставляють її працювати, розвиватися, удосконалюватися.

  3. Завдання, що потребують активності та самостійності думок, кмітливості, вміння швидко оцінювати ситуацію (творчі завдання), повинні більше використовуватися в практиці викладання математики.

  4. Авторська система задач, що органічно поєднує диференційовані, проблемні та творчі завдання з математики, і методичні рекомендації по її використанню дають можливість вчителю реалізувати дидактичний принцип свідомості і творчої активності через розв’язування математичних задач.

  5. Запропонована автором дипломної роботи система задач є більш ефективною, ніж традиційна методика, в процесі викладання математики.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

  1. Бабанский Ю.К., Поташник М.М. Оптимизация педагогического процесса: В вопросах и ответах. – К.: Рад.школа, 1982. – 198 с.

  2. Баранов С.П. Принципы обучения: Лекции по дидактике. – М.: Наука, 1981. – 94 с.

  3. Бевз Г.П. Методика викладання математики: Навчальний посібник. – К.: Вища школа, 1989. – 367 с.: іл.

  4. Воробьева Н.Г. Творческие задания – средство активизации познавательной деятельности у учащихся //Математика в школе. – 1987. - №4. – С.32-35.

  5. Власенко О.І. Методика викладання математики. Загальні питання. – К.: Вища школа, 1974. – 208 с.: іл.

  6. Гришина Т.С. Творческие задания для слабоуспевающих девятиклассников //Математика в школе. – 1997. - №2. – С.8-11.

  7. Груденов М.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике. – М.: Педагогика, 1987. – 160 с.: ил.

  8. Дидактика средней школы. Некоторые проблемы современной дидактики: Учебное пособие для студентов пединститутов /Под ред. М.А. Данилова, М.Н. Скаткина. – М.: Просвещение, 1975. – 303 с.: ил.

  9. Ельконін Д.Б. Навчання і розумовий розвиток у молодшому шкільному віці //Початкова освіта. – 2000. - №16. – С.4-5.

  10. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки /Под ред. М.К. Потапова. – М.: Наука, 1982. – 208 с.

  11. Касьяненко М.Д. Підвищення ефективності навчання математики: Організація творчої діяльності учнів. – К.: Рад.школа, 1980. – 142 с.

  12. Кривова Н.А. Разноуровневые тесты в обучении решения неравенств //Математика в школе. – 1998. – №2. – С.23-26.

  13. Кричевец А.Н. О математических задачах и задачах обучения математике //Вопросы психологии. – 1999. - №1. – С.32-42.

  14. Крутецкий В.А. Психология математических школьников. – М.: Просвещение, 1968. – 432 с.

  15. Марнянський І. Розвиваюче навчання та формування математичних понять //Математика в школі. – 1999. - №2. – С.20-21.

  16. Метельский Н.В. Пути совершенствования обучения математике: Проблемы современной математики. – Мн.: Университетское, 1989. – 160 с.

  17. Методика викладання математики в середній школі: Навчальний посібник для пед.інститутів /Упоряд. Р.С.Черкасов, А.А.Столяр. – Х.: Основа, 1992. – 304 с.: іл.

  18. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов. – М.: Просвещение, 1975. – 462 с.

  19. Миндюк М.Б. Составление и использование разноуровневых заданий для дифференцированной работы с учащимися //Математика в школе. – 1991. – №3. – С.12-15.

  20. Немов Р.С. Психология: Учеб. для студ. высш. пед. учеб. заведений: В 3 кн. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДС, 2000. – Кн.2: Психология образования. – 608 с.

  21. Однолько В.Г. Розвиток мислення //Рідна школа. – 1994. - №12. – С.32-38.

  22. Окунев А.А. Спасибо за урок, дети: О развитии творческих способностей учащихся. Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1988. – 105 с.

  23. Педагогічна психологія: Навч. посібник /Під ред. Л.М.Проколієнко, Д.Ф.Ніколенко. – К.: Вища школа, 1991. – 183 с.

  24. Підгайна Т.М. Роль проблемного підходу в викладанні математики //Математика. – 2000. - №36(96) – С.2.

  25. Поисковые задачи по математике: Пособие для учителей /Под ред. Колягина. – М.: Просвещение, 1979. – 95 с.

  26. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии. – М.: Народное образование, 1998. – 256 с.

  27. Система тренировочных задач и упражнений по математике /Под ред. А.А. Симонова, Д.С. Бакаева, А.Г. Экельмана. – М.: Просвещение, 1991. – 208 с.: ил.

  28. Столяр А.А. Педагогика математики: Курс лекций. – Мн.: Вышейш школа, 1969. – 368 с.: ил.

  29. Тимощук М.Е. О дифференцированной помощи учащимся при решении задач //Математика в школе. – 1993. - №2. – С.12-14.

  30. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математики в школе. – М.: Просвещение, 1983. – 159 с.

  31. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Книга для учащихся старших классов сред. школ. – М.: Просвещение, 1989. – 192 с.

  32. Хабибулин К.С. Формирование у учащихся творческого отношения к решению задач //Школьные технологии. – 1999. - №1-2. – С.156-158.

  33. Чучуков В.Ф. Система дифференцированных заданий как средство управления процессом обучения. – К.: Вища школа, 1975. – 29 с.

  34. Яценко С. Рівнева диференціація при викладанні математики //Математика в школі. – 1999. - №2. – С.13-15.

ДОДАТКИ

ДОДАТОК 1

Диференційовані задачі для засвоєння понять

Тема “Суміжні і вертикальні кути” (7 клас)

ІІІ рівень

  1. К

    V

    ористуючись малюнком, назвати суміжні (вертикальні) кути.

А

С

В

D

T

H

Y

G

T

W

R

C

Z

U

  1. Що випливає з того, що:

а) АОС і СОВ – суміжні кути;

б) АОС і DОР – вертикальні кути;

в) 1 і 2 – суміжні, 2 = 90

  1. Знайти решту кутів:

30

1

1

2

3

140

1

2

110

35

ІІ рівень

  1. Чи правильне твердження:

а) якщо суміжні кути рівні, то вони прямі;

б) якщо один із суміжних кутів гострий, то другий тупий;

в) кут між бісектрисами вертикальних кутів дорівнює 90;

г) якщо сума двох кутів 180, то ці кути суміжні;

д) якщо кути суміжні, то їх сума дорівнює 180.

  1. Суміжні кути відносяться як 3:5. Знайти ці кути.

  2. Знайти решту кутів.

1

2

4

3

310

І рівень

  1. Чи правильне твердження:

а) кут, утворений бісектрисами суміжних кутів, гострий;

б) якщо сума двох кутів, утворених при перетині двох прямих дорівнює 90, то ці кути вертикальні;

в) кожен із суміжних кутів тупий;

г) різниця суміжних кутів дорівнює 195;

д) сума трьох кутів, одержаних при перетині двох прямих, дорівнює 170.

  1. 1 + 2 + 3 - ?

  2. Знайти кути, якщо 5 - 4 = 40.

4

3

2

1

30

5

1

2

3

ДОДАТОК 2

Диференційовані задачі на засвоєння теорем

Тема: "Найбільше та найменше значення функції" (11 клас)

  1. Знайти найбільше та найменше значення функцій на заданих проміжках.

ІІІ рівень

а)

б)

в)

г)

ІІ рівень

а)

б)

в)

г)

І рівень

а)

б)

в)

г)

  1. Розв’язати задачі на знаходження найменшого і найбільшого значення функцій.

ІІІ рівень

а) Які повинні бути сторони прямокутника, периметр якого 120 м, щоб площа цього прямокутника була найбільшою?

б) Знайти число, яке в сумі зі своїм квадратом має найменшу суму.

ІІ рівень

а) Знайти число, куб якого перебільшує його потроєний квадрат на мінімальне значення;

б) В який круг можна вписати прямокутник найбільшої площі з периметром, рівним 56 см.

І рівень

а) Які розміри треба надати радіусу основи і висоті відкритого циліндричного бака, щоб при заданому об’ємі V на його виготовлення пішла найменша кількість листового металу?

б) Число 54 представити у вигляді суми трьох додатних доданків, два з яких пропорційні числам 1 і 2, таким чином, щоб добуток всіх доданків був найбільшим.

ДОДАТОК 3

Диференційовані задачі на способи розв’язання

Тема: "Система лінійних рівнянь" (7 клас)

ІІІ рівень

  1. Розв’яжіть графічним способом системи рівнянь:

а)

б)

  1. Розв’яжіть системи рівнянь способом підстановки:

а)

б)

  1. Розв’яжіть способом додавання системи рівнянь:

а)

б)

ІІ рівень

  1. Знайдіть координати точки перетину графіків:

а)

б)

  1. Розв’яжіть системи:

а)

б)

в)

д)

І рівень

  1. Доведіть, що системи рівнянь не мають розв’язків:

а)

б)

  1. Розв’язати системи рівнянь:

а)

б)

в)

  1. Знайдіть периметр а, при якому система має нескінченно багато розв’язків:

ДОДАТОК 4

Завдання з диференціюванням допомоги

Тема: "Піраміда" (11 клас)

Задача. Довести, що довільний тетраедр можна перетнути площиною таким чином, що в перетині отримаємо ромб.

Учнів третьої групи треба підготувати до розв’язання цієї задачі: розв’язати спочатку такі задачі.

Задача 1. Побудувати перетин тетраедра АВСD площиною, що проходить через внутрішню точку Q ребра BD і паралельна прямим ВС і AD (мал.1).

Задача 2. Довести, що можна побудувати перетин тетраедра площиною так, що у перетині буде паралелограм.

Задача 3. Перетворити ромб, побудований на одній із сторін паралелограма, що є перетином тетраедра, в такий ромб, кожна вершина якого була б внутрішньою точкою одного з ребер тетраедру (скористатися гомотетією з центром у вершині А і коефіцієнтом (мал.2), Q' - вершина паралелограма, Q - точка перетину променя AQ' з ребром BD.

Мал.1

Мал.2

Учням другої групи треба запропонувати розв’язати задачу 2, потім запропонувати основну задачу і допомогти звести її до елементарних підзадач.

Після підготовки учні третьої і другої груп до розв’язання основної задачі вони працюють під керівництвом вчителя разом.

Задача 2 є частиною розв’язання вихідної задачі: площина перетину повинна проходити через внутрішню точку ребра BD і бути паралельною прямим AD і ВС.

Учні першої групи, скориставшись загальним прийомом проведення аналізу можуть починати розв’язання вихідною задачі з міркувань: нехай перетин, що задовольняє умові задачі, існує, тобто MNPQ - ромб. Далі вчитель підказує, що при розв’язанні поставленої задачі можна використовувати метод подібності: спочатку показати існування ромба, подібного шуканому, потім показати, як перетворити його в шуканий ромб.

ДОДАТОК 5

Проблемні задачі для різних класів

  1. Чи існують числа, обернені самим собі? Скільки таких чисел?

  2. При яких значеннях а і b правильні:

а) рівності

б) нерівності

  1. х > у. Чи обов’язково х2 > у2 ?

  2. Чи можуть дві бісектриси трикутника бути перпендикулярними? А дві висоти?

  3. Чи існує трикутник зі сторонами 7, 6 і 15?

  4. Точки А, В, С лежать на прямій, а точка О поза прямою. Чи можуть два трикутники АОВ і ВОС бути рівнобедреними з основами АВ і ВС?

  5. Як можна побудувати графік функцій у = (х - 2)2 + 3, використовуючи вже побудований графік у = х2 ?

  6. Чи у будь-який опуклий чотирикутник можна вписати коло?

  7. Не використовуючи таблиць Брадіса, порівняти cos 136 і tg 153.

  8. Встановіть вид трикутника, класифікуючи за кутами, якщо один з його внутрішніх кутів дорівнює сумі двох інших; більше її; менше її.

  9. Усі десяткові наближення за недостачею до дійсного числа α, починаючи з деякого, збігаються. Раціональне чи ірраціональне це число α?

  10. АВ=ВС, АМ//BN, ВМ//CN. Чи будуть рівними трикутники АВМ і BCN?

В

С

А

М

N

ДОДАТОК 6

Творчі завдання з математики

  1. Точками на координатній площині намалювати звіра, сонце, квітку.

  2. Знайдіть всі можливі види розгорток куба.

  3. Складіть задачу, розв’язування якої зводилось би до розв’язування рівняння:

  1. За допомогою одного знака нерівності записати, що число більше -2, але менше 2.

  2. Дано точки А і В. За допомогою циркуля і лінійки провести через ці точки пряму (лінійка коротша ніж відстань між ними).

  3. Знайти помилку:

16 – 36 = 25 – 45;

4=5 ├ 2*2=5.

  1. Порахуйте кількість трикутників.

  2. У квадраті з 9 клітин, розставити числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, щоб суми чисел, що стоять у кожному вертикальному рядку, у кожному горизонтальному рядку, а також на кожній діагоналі були рівними.

  3. Записати двійку трьома п’ятірками.

  4. Складіть задачу, що розв’язується за допомогою даного рівняння

    а)

    б)

    0.5*4.7*sinα = 5*1.4

  5. Запишіть нерівності, множини розв’язків яких задані:

а)

б)

в)

г)

  1. ABCD - трапеція. Скільки пар рівновеликих фігур на малюнку?

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Як підготувати успішну особистість: евристичні технології в освітньому процесі»
Ілляхова Марина Володимирівна
36 годин
590 грн

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.