Квадратні рівняння. Теорема Вієта. Алгебра. 8 клас ЦИКЛ УРОКІВ

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код

Квадратні рівняння. Теорема Вієта.

Алгебра. 8 клас

ЦИКЛ УРОКІВ

Прямоугольник 12

Передмова

Працюй для того, щоб насолоджуватися.”

Ж.Ж. Руссо

Пропонований матеріал покликаний допомогти вчителям краще підготуватися і провести урок алгебри в 8 класі, не витрачаючи на це багато часу.

Матеріал розробок уроків до теми «Квадратні рівняння. Теорема Вієта» побудований відповідно до чинної навчальної програми з математики та містить план вивчення теми з використанням інтерактивних технологій навчання.

До кожного уроку наведено систему вправ різних рівнів складності. Акцент зроблено на завдання середнього і достатнього рівня, що дає змогу формувати в учнів обов'язкові уміння і навички відповідно до державного стандарту освіти та вимог навчальної програми.

Уроки можна проводити, використовуючи інтерактивну дошку, мультимедійний проектор, програми «Power Point», мікрофон. За допомогою мультимедійного проектора на екран проектуються тема та мета, девіз та епіграф уроку. У формі презентацій на екран проектуються запитання для фронтального опитування, завдання, приклади та відповіді на них.

У посібнику передбачено різноманітні завдання і форми роботи, користуючись якими учні мають змогу здійснювати самоконтроль і контроль навчальних досягнень, зокрема це використання базового листка контролю знань, завдання в тестовій формі, математичні диктанти, усні вправи, індивідуальні завдання. Вони проводяться як змагання між учнями, робота в групах, в парі, лінгвістична гра, дидактичні ігри «Аукціон», «Мікрофон», «Карусель», «Акваріум», проблемно-ситуаційна гра, розгадування кросвордів тощо.

Таблиці, які містяться в поурочних розробках, можуть бути використані протягом вивчення всієї теми та під час повторення вивченого матеріалу.

Самостійні та контрольна роботи містять різні завдання, як за типом, так і за рівнем складності.

Навчальний матеріал викладено за підручником: Бевз Г. П. Алгебра : підруч. для 8 кл. загальноосвіт. навч. закл. / Г. П. Бевз, В. Г. Бевз. − К : Зодіак-ЕКО, 2008. − 256 с. : іл.

Тема 3. Квадратні рівняння. Теорема Вієта (9 год.)

Основна мета ввести означення квадратного рівняння і ввести формулу його коренів; знаходити суму та добуток коренів зведеного квадратного рівняння за теоремою Вієта і оберненою до неї теоремою; сформувати вміння розв'язувати квадратні рівняння.

Учні повинні:

  • мати уявлення про квадратне рівняння (повне і неповне, зведене); знати означення квадратного рівняння; формули дискримінанта, коренів квадратного рівняння; залежність між значенням дискримінанта та кількістю коренів квадратного рівняння.

  • уміти розпізнавати квадратні рівняння серед інших рівнянь; розв'язувати квадратні рівняння за допомогою формул коренів квадратного рівняння; знаходити суму та добуток коренів зведеного квадратного рівняння за теоремою Вієта.

План вивчення теми

уроку

Тема

Мета

Вимоги

1

Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння, їх розв’я-зування

Ввести поняття квад-ратного рівняння, не-повного квадратного рівняння.

Формувати вміння розпізнавати квадра-тне рівняння та визна-чати його коефіцієнт-ти, розв’язувати не-повні квадратні рів-няння.

Розвивати логічне ми-слення учнів, уваж-ність, самостійність, інтерес до предмету математики.

Учні повинні: розпізнавати квад-ратні рівняння серед інших рівнянь; визначати коефіцієн-ти в квадратному рівнянні; знати означення ква-дратного рівняння; уміти розв’язувати неповні квадратні рівняння.

2

Неповні квадратні рівняння, їх розв’я-зування

Формувати в учнів вміння та навички з розв’язування непов-них квадратних рів-нянь та рівнянь, що зводяться до неповних квадратних рівнянь.

Розвивати логічне мислення, математи-чне мовлення. Виховувати в учнів культуру математич-них записів, актив-ність, дисциплінова-ність, працьовитість.

Учні повинні: розпізнавати квадра-тні рівняння; знати алгоритми роз-в’язування неповних квадратних рівнянь; уміти розв’язувати неповні квадратні рівняння; здійснювати самопе-ревірку та працюва-ти за алгоритмом.

3

Формула коренів квадратного рівня-ння

Формування умінь розв’язувати квадрат-ні рівняння за допомо-гою виділення квадра-та двочлена.

Вивести формулу для розв’язування квад-ратних рівнянь.

Формувати вміння знаходити дискримі-нант і корені квадрат-ного рівняння.

Розвивати логічне ми-слення учнів, уваж-ність, самостійність, культуру записів.

Учні повинні:

уміти виділяти квад-рат двочлена;

розпізнавати повне квадратне рівняння і визначати його кое-фіцієнти;

знати формулу диск-римінанта та коренів квадратного рівнян-ня, застосовувати ці формули при роз-вязуванні вправ;

визначати кількість коренів рівняння за-лежно від знаку дис-кримінанта;

розвязувати рів-няння за допомогою виділення квадрата двочлена.

4

Квадратні рівняння. Розв'язування вправ

Формувати в учнів навички розв’язуван-ня квадратних рівнянь за загальною форму-лою, уміння знахо-дити дискримінант і робити висновок про кількість коренів ква-дратного рівняння.

Формувати вміння розв’язувати рівнян-ня, коли другий кое-фіцієнт – парне чис-ло.

Розвивати творчі здіб-ності учнів, логічне мислення; спонукати учнів до творчої робо-ти на уроці; сприяти розвитку уваги, пам’я-ті учнів.

Учні повинні:

розпізнавати ква-дратні рівняння;

визначати коефіціє-нти квадратного рівняння;

знати формули дис-кримінанта, коренів квадратного рівнян-ня, залежність дис.-кримінанта та кіль-кість коренів ква-дратного рівняння;

уміти розвязувати рівняння, користую-чись формулами.

5

Зведене квадратне рівняння. Теорема Вієта

Ввести поняття зведе-ного квадратного рів-няння; довести теоре-му Вієта та обернену до неї.

Формувати вміння застосовувати теорему при розв’язуванні ква-дратних рівнянь, зна-ходити суму та добу-ток коренів зведеного квадратного рівняння, здатність робити вис-новки.

Розвивати логічне ми-слення, самостійність та вміння узагальню-вати вивчені факти.

Виховувати наполег-ливість, інтерес до ма-тематики.

Учні повинні:

мати уявлення про зведене квадратне рівняння;

уміти знаходити су-му та добуток коре-нів зведеного квад-ратного рівняння, визначати знаки ко-ренів та знаходити його корені за допо-могою оберненої теореми Вієта.

6

Розв’язування квад-ратних рівнянь. Діагностична самостійна робота

Перевірити вміння та навички розвязу-вання квадратних різних видів рівнянь.

Розвивати самостій-ність, вміння шукати і пізнавати цікаву інфо-рмацію.

Виховувати наполе-гливість, допитли-вість, працьовитість, інтерес до математи-ки.

Учні повинні:

знати означення пов-ного, неповного, зве-деного квадратного рівняння;

знати формули коре-нів квадратного рів-няння і алгоритми розвязування непо-вних квадратних рів-нянь;

уміти розв’язувати повні квадратні рів-няння за формулами (через D і D1) і не-повні квадратні рів-няння за алгоритм-мом.

7

Квадратні рівняння. Теорема Вієта. Аналіз діагностич-ної самостійної роботи. Узагальнен-ня та систематика-ція знань, умінь, на-вичок

Узагальнити та систе-матизувати знання учнів по вивченому матеріалу.

Ліквідувати можливі прогалини в знаннях учнів;

Закріпити навички самостійної роботи.

Розвивати наполягли-вість, цілеспрямова-ність, творчу актив-ність, логічне мисле-ння

Виховувати охайність, вміння аналізувати, інтерес до математики

Учні повинні:

знати означення пов-ного, неповного, зве-деного квадратного рівняння;

знати формули коре-нів квадратного рів-няння і алгоритми розвязування непо-вних квадратних рів-нянь;

знати теореми Вієта;

уміти розв’язувати повні квадратні рів-няння за формулами (через D і D1) і не-повні квадратні рів-няння за алгоритм-мом;

розв’язувати вправи різного рівня склад-ності.

8

Контрольна робота «Квадратні рівнян-ня. Неповні квадра-тні рівняння. Формула коренів квадратного рівнян-ня. Теорема Вієта.»

З’ясувати рівень навчальних досягнень учнів з теми «Квад-ратні рівняння. Непов-ні квадратні рівняння. Формула коренів квад-ратного рівняння. Тео-рема Вієта».

Формувати уміння працювати самостій-но, охайно.

Розвивати память, мислення.

Виховувати почуття відповідальності за свій рівень знань, інтерес до математики

Учні повинні:

знати формули коренів квадратного рівняння і алгоритми розвязування непо-вних квадратних рівнянь;

знати теореми Вієта;

уміти розв’язувати повні квадратні рів-няння за формулами (через D і D1) і не-повні квадратні рів-няння за алгорит-мом;

розв’язувати вправи різного рівня склад-ності.

9

Аналіз контрольної роботи. Розв'язуван-ня вправ

Проаналізувати поми-лки виявлені під час перевірки контрольної роботи, провести їх корекцію.

Повторити формули коренів квадратного рівняння, теорему Вієта.

Розвязувати вправи різного рівня складно-сті.

Виховувати бажання працювати.

Розвивати пізнавальні інтереси

Учні повинні:

знати теореми Вієта;

уміти знаходити су-му і добуток коренів квадратного рів-няння, користуючись теоремами Вієта;

складати рівняння за його коренями;

розв’язувати вправи різного рівня склад-ності.

Пропонований матеріал не завжди може бути використаний повністю за відведений час. Учитель на свій розсуд, враховуючи реальні навчальні можливості класу, наявність часу зможе відібрати те, що вважатиме необхідним і корисним.

Сподіваюся, що розробки зацікавлять усіх тих, хто викладає алгебру у 8 класі. На мою думку, ними можуть скористатися як досвідчені вчителі, так і початківці молоді вчителі.

Бажаю творчого натхнення та успіхів! З повагою автор

Девіз: „Не опускайте рук, займіться математикою, і ви прозрієте душею...”

М. П. Кравчук

Урок 1

Тема. Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння, їх розв’язування.

Мета. Ввести поняття квадратного рівняння, неповного квадратного рівняння. Формувати уміння розпізнавати квадратне рівняння та визначати його коефіцієнти, розв’язувати неповні квадратні рівняння. Розвивати логічне мислення учнів, уважність, самостійність, інтерес до предмету математики.

Учні повинні: розпізнавати квадратні рівняння серед інших рівнянь;

визначати коефіцієнти в квадратному рівнянні;

знати означення квадратного рівняння;

уміти розвязувати неповні квадратні рівняння.

Обладнання. Таблиця „Квадратні рівняння”.

Тип уроку. Урок засвоєння нових знань.

Епіграф: „Початок є – кінця пізнанню немає!”

К. Левітін

ХІД УРОКУ

  1. Вступне слово вчителя.

Загадкове, нам знайоме,

В ньому є щось невідоме.

Його треба розвязати,

Треба корінь відшукати.

Кожен легко, без вагання

Відповість, що це – …

(Рівняння)

  1. Актуалізація опорних знань учнів.

Проводиться у формі фронтального опитування як інтерактивна вправа „Мікрофон”.

    1. Дайте означення рівняння.

    2. Що називається коренем рівняння?

    3. Що означає розвязати рівняння?

    4. Які види рівнянь ви знаєте?

    5. Дайте означення рівняння 1-го степеня.

    6. Скільки розвязків може мати лінійне рівняння?

  1. Створення проблемної ситуації та мотивація навчання.

Учитель. На попередніх уроках ви навчилися розвязувати рівняння виду х2 = а і вже знаєте, що таке рівняння може мати, в залежності від значень а, різну кількість розвязків.

Учням пропонується розвязати такі рівняння:

а) 2 = 0; б) 2 – 16 = 0; в) 2 + 3х = 0.

(Троє учнів біля дошки розв’язують рівняння і вказують алгоритм їх розв’язування.)

(В цей час обговорюється кількість розвязків рівняння х2 = а залежно від значень а.)

Досить часто доводиться розвязувати задачі прикладного змісту за допомогою рівнянь. Але виявляється деякі з них не можна подати у вигляді відомих вам рівнянь.

Наприклад: 1. Знайдіть довжини сторін прямокутника, периметр якого дорівнює 42 см, а площа 108 см2.

2. Знайдіть два числа, сума яких дорівнює 61, а добуток 900.

(Разом з учнями складаються рівняння за допомогою яких можна знайти невідомі величини задач.)

Сьогодні на уроці ми з вами дізнаємося ще про один із видів рівнянь, а саме про рівняння другого степеня.

  1. Сприйняття й усвідомлення поняття повного та неповного квадратного рівнянь.

Учитель. Пропоную учням самостійно дати означення повного і неповних квадратних рівнянь, визначити види неповних квадратних рівнянь. Після чого вивішується таблиця „Квадратні рівняння”, за допомогою якої встановлюються чіткі означення даних рівнянь і розглядається алгоритм розв’язування неповних квадратних рівнянь.

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

Повні

ах2 + bх + с = 0, де а 0, b 0, с 0

Неповні

ах2 = 0;

b = с = 0;

а 0;

х = 0 – єдиний корінь

ах2 + bх = 0;

с = 0; а 0; b 0;

х(ах + b) = 0;

х = 0 або х = - .

ах2 + с = 0; b = 0;

а 0; с 0;

х2 = .

Якщо > 0, то

х1 = ; х2 = .

Якщо < 0, то дійсних коренів немає.

Квадратним рівнянням називають рівняння виду ах2 + bх + с = 0, де х – змінна, а, b, с – дані числа, причому а 0.

Числа а, b, с коефіцієнти рівняння: а – перший (старший) коефіцієнт, bдругий, свільний член.

Якщо в рівнянні ах2 + bх + с = 0 хоча б один із коефіцієнтів b або с дорівнює нулю, то таке квадратне рівняння називають неповним.

  1. Первинне закріплення вивченого.

Примітка. Нумерацію задач вказано за підручником: Г. П. Бевз, В. Г. Бевз. Алгебра: Підручник для 8 класу загальноосвітніх навчальних закладів. К. – Зодіак - ЕКО, 2008.

1. № 861 (усно).

  1. Назвати коефіцієнти квадратних рівнянь:

а) 2 – 9х + 4 = 0; г) –4х2 + 5х = 0; є) 7 + х2 – 2х = 0;

б) х2 + 3х – 10 = 0; д) 2 – 30 = 0; ж) 3х – х2 – 5 = 0.

в) –х2 – 8х +1 = 0; е)2 = 0;

(Рівняння заздалегідь записані на дошці або проектуються на екран)

3. Проговорюються з учнями методи розв’язування неповних квадратних рівнянь, типи рівнянь і відповідний алгоритм.

4. № 862 (усно).

5. Розвязати рівняння (самостійно, користуючись таблицею, з наступною перевіркою.)

а) № 870(а);

б) № 872(в);

в) № 871(а).

6. Проблема: чи можна рівняння (х – 1)(х + 1) = 5 + х2 назвати квадратним і чому?

  1. Розвязування рівнянь, що зводяться до неповних квадратних. Робота в парі.

1. Учні допомагають один одному у виконанні вправ № 868 (д), № 873 (б-г), при необхідності звертаються до вчителя. Перевірка здійснюється коментуванням з місця. При коментуванні бажано одержати таку відповідь:

Наприклад. 2 = 0 – це неповне квадратне рівняння, у якому b = с = 0, тому у = 0.

3х2 + 5 = 0 – це неповне квадратне рівняння, у якому b = 0, тому рівняння може не мати коренів, якщо с > 0 і мати два протилежні корені, якщо с < 0.

2х х2 = 0– це неповне квадратне рівняння, у якому с = 0, тому рівняння має два різні корені, причому один з коренів дорівнює 0.

2. Розв’язати рівняння (із записом на дошці):

а) 2)(х + 2) = 2х2 – 13;

б) (х − 3)2 = 25 – 6х.

VII. Підсумок уроку.

Фронтальне повторення вивченого матеріалу. Метод “Мікрофон”.

Завдання і запитання до учнів.

1. Сформулюйте означення повного квадратного рівняння. Чому в означенні накладено умову на а: а ≠ 0?

2. У рівнянні 2 – 7х + 2 = 0 назвіть коефіцієнти а, b, с. Запишіть рівняння, якщо b = 0, а = – 1, с = 2 .

3. Як називають таке рівняння?

4. Наведіть приклади інших неповних квадратних рівнянь.

5. Скільки коренів може мати неповне квадратне рівняння?

Учитель. На уроці ми ознайомились з поняттям квадратного рівняння та його коефіцієнтами, неповними квадратними рівняннями та методами їх розвязувань.

VIII. Домашнє завдання. Розділ 3, §19, № 868 (а, б), № 869 (б, в),

№ 873.

Девіз: „Працюй для того, щоб насолоджуватися.”

Ж. Ж. Руссо

Урок 2

Тема. Неповні квадратні рівняння, їх розв’язування.

Мета. Формувати в учнів вміння та навички з розв’язування неповних квадратних рівнянь та рівнянь, що зводяться до неповних квадратних рівнянь. Розвивати логічне мислення, математичне мовлення. Виховувати в учнів культуру математичних записів, активність, дисциплінованість, працьовитість.

Учні повинні: розпізнавати квадратні рівняння;

знати алгоритми розв’язування неповних квадратних рівнянь;

уміти розвязувати неповні квадратні рівняння;

здійснювати самоперевірку та працювати за алгоритмом.

Тип уроку. Урок формування вмінь і навичок.

Обладнання. Таблиця „Квадратні рівняння”, „Алгоритм розв’язування рівнянь з різними знаменниками”, базовий листок контролю знань, сигнальні картки, проектор.

Епіграф: „ Хто нічого не знає, тому немає в чому помилятися”.

Давньогрецький поет Менандра

ХІД УРОКУ

І. Організаційний момент.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

1. Наявність письмово виконаного завдання перевіряють чергові.

2. Учитель пропонує учням завдання, аналогічні до домашніх.

«Встановіть відповідність». У правій колонці знайдіть відповіді до прикладів, які розміщені в лівій колонці (відповіді учні показують за допомогою сигнальних карток).

Завдання Відповіді

а) –у2 = 0; 1. . 6. .

б) 2а = а2; 2. 0. 7. 3; -3.

в) 2х(х + 5) = 7х; 3. 0; 2. 8. 2; -2.

г) –х(2х + 3) = 8х; 4. ; 0. 9. 0 і 5,5.

д) у2 – 9 = 0; 5. . 10. 0 і -1,5.

е) 2 – 8 = 0;

є) 2 = 17х.

ІІІ. Мотивація навчання, повідомлення теми і мети уроку.

Учитель. Сьогодні на уроці ми узагальнимо знання з теми „Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь”, розглянемо випадки використання алгоритмів розв’язування неповних квадратних рівнянь; спробуємо дати відповіді на запитання, які ще задачі зводяться до розв’язування неповних квадратних рівнянь.

ІV. Актуалізація опорних знань учнів.

Проводиться гра „Прикрась ялинку”, яка полягає в тому, що на дошці встановлюється вирізана з картону ялинка, в коробці знаходяться «іграшки» (паперові, картонні, тощо), на зворотньому боці яких написані рівняння (на різний рівень складності вказують різні кольори «іграшок»). Учень має право прикрасити «ялинку» вибраною «іграшкою», якщо завдання виконано правильно.

1. х2 = 0; 6. 2 – 9х = 0;

2. 2 = 27; 7.2 – 64 = 0;

3. х2 – 2х = 0; 8. (х – 1)(х + 1) = 0;

4. у2 – 16 = 0; 9. 2(х2 – 1) = (х + 1)(х - 1);

5. 2 – 8 = 0; 10. (2х + 1)2 = 4(х – 2).

(Відповіді до рівнянь проектуються на екран.)

Після виконання завдання учні відповідають на теоретичні запитання, які задають інші учні, використовуючи „Базовий листок контролю”. Для їх обговорення проводиться гра “Карусель”. Учні по рядах попарно обличчям сідають один до одного. Кожен учень дає відповідь на одне питання. Вони це роблять по черзі. Виконується за командою вчителя.

Базовий листок контролю”.

  1. Сформулюйте означення повного квадратного рівняння.

  2. Скільки коренів має повне квадратне рівняння?

  3. Навести приклади неповних квадратних рівнянь.

  4. Як ще називають повне квадратне рівняння?

  5. Дайте означення неповного квадратного рівняння.

  6. Як називаються в повному квадратному рівнянні числа а, b, с?

  7. Скільки коренів має рівняння виду ах2 = 0?

  8. Сформулюйте алгоритм розв’язування рівняння виду ах2 + bх = 0.

  9. Чи має розвязки рівняння2 + 8 = 0?

  10. Сформулюйте алгоритм розв’язування рівняння виду ах2 + с = 0.

(Після виконання завдань виставляються оцінки.)

Учитель. Продовжимо свою роботу після невеличкого повідомлення про квадратні рівняння.

Історична довідка. (Повідомлення учня).

Квадратні рівняння простіших видів вміли розв’язувати вавилонські математики ще 4 тис. років тому. Згодом розв’язали їх також у Китаї і Греції. Особливо багато уваги квадратним рівнянням приділив Мухаммед ал-Хорезмі (IX ст.) Він показав, як розвязувати (при додатних а і b) рівняння таких видів:

x2 + ax = b; x2 + a = bx; ax + b = x2.

Від’ємних коренів тоді не знаходили. Формули коренів квадратного рівняння вивів Франсуа Вієт (1540 – 1603).

(На екран проектуються портрети Мухаммед ал-Хорезмі та Франсуа Вієта)

  1. Формування вмінь і навичок розв’язування неповних квадратних рівнянь.

Вправи розвязуються на дошці поступово під керівництвом учителя, аналогічні вправи учні розвязують самостійно. Бажано вправи розвязувати парами: № 874 (в) на дошці, а № 874 (г) – самостійно і т. д.

На дошці Самостійно

№ 874 (в) № 874 (г)

№ 875 (б) № 875 (а)

№ 877 (б) № 877 (а)

Троє учнів по черзі працюють на закритій для учнів дошці. Після перевірки вчителем роботи на дошці учні всього класу виконують самоперевірку.

Вчитель пропонує деяким учням прокоментувати хід розвязування вправи № 878 (а). Учні розв’язують вправу самостійно за планом, що пропонує вчитель. (На дошці вивішується таблиця з алгоритмом розв’язування рівнянь з різними знаменниками.)

Алгоритм розвязування рівнянь з різними знаменниками

  1. Знайдіть спільний знаменник.

  2. Домножте на нього ліву та праву частини рівнянь.

  3. Перенесіть невідомі члени рівняння в ліву частину рівняння, відомі в праву.

  4. Розв’яжіть рівняння виду ах2 = b.

  1. Контроль якості засвоєння знань.

Учитель пропонує учням тестові завдання. Перші три завдання оцінюються одним балом, 4 – 7 – оцінюються двома балами кожне, а завдання 8 – одним балом. (В кінці уроку вчитель вибірково збирає зошити на перевірку для оцінювання тестових завдань.)

1. Одним із коренів рівняння 2 – 20 = 0 є число –2. Тоді другий корінь дорівнює:

а) 1; б) 4; в) 2; г) –4.

2. Яке з даних рівнянь є квадратним?

а) 7 + 8х = 0; б) ; в) х2 – 3х = 9; г) – х3 = 0.

3. Яке з цих рівнянь є неповним квадратним?

а) х2 – 1 = 0; б) 2 + 3х = 1; в) 1 – х + 2х2 = 0; г) 2 = .

Які з наведених чисел для завдань 4–8 є коренями рівняння?

4. 2 – 32 = 0.

а) 2 і 7; б) -2 і 2; в) 0 і 5; г) -3 і 2.

5.2 – 7х = 0.

а) 1 і 5; б) -4 і 0; в) 0 і ; г) і 4.

6. 3х2 – 27 = 0.

а) 9; б) 3 і -3; в) 3; г) -3.

7. 2 – 18х = 0.

а) 3 і -3; б) 0 і 3; в) 9; г) 0 і 9.

8. 2 = 17х.

а) і ; б) 0; в) ; г) 0 і .

(Після виконання завдань вчитель пропонує учням перевірити їх за відповідями, які проектуються на дошку за допомогою проектора.)

  1. Узагальнення знань. Розвязування неповних квадратних рівнянь з параметрами.

Учитель. На попередніх уроках ми ознайомилися з алгоритмами розвязування неповних квадратних рівнянь. А зараз застосуємо ці знання для розвязування неповних квадратних рівнянь з параметрами і до розвязування задач. Пропоную розвязати наступні рівняння:

1. При яких значеннях параметра розвязком рівняння є число –2?

а) mх2 – 8х = 0;

б) ах2 + 20х = 0;

в) 2 kх = 0;

г) ах2 – 36х = 0.

2. № 896 (а) (колективно).

  1. Підведення підсумків уроку.

Проводиться підсумок уроку. Окремим учням ставиться оцінка. Вчитель звертає увагу на ті моменти, де учні помилились, не могли виконати правильно завдання.

  1. Домашнє завдання. § 19, № 876 (а), № 879 (а), № 880 (а).

Девіз: „Ніколи не втрачайте терпіння – це останній ключ, що відкриває двері.”

А. де Сент-Екзюпері

Урок 3

Тема. Формула коренів квадратного рівняння.

Мета. Формування умінь розв’язувати квадратні рівняння за допомогою виділення квадрата двочлена. Вивести формулу для розв’язування квадратних рівнянь. Формувати вміння знаходити дискримінант і корені квадратного рівняння. Розвивати логічне мислення учнів, уважність, самостійність, культуру записів.

Учні повинні: уміти виділяти квадрат двочлена;

розпізнавати повне квадратне рівняння і визначати його коефіцієнти;

розвязувати рівняння за допомогою виділення квадрата двочлена;

визначати кількість коренів квадратного рівняння залежно від знаку дискримінанта;

знати формулу дискримінанта та коренів квадратного рівняння, застосовувати ці формули при розвязуванні вправ;

визначати кількість коренів рівняння залежно від знаку дискримінанта.

Тип уроку. Урок засвоєння нових знань.

Епіграф: „Не опускайте рук, займіться математикою, і ви прозрієте душею...”

М. П. Кравчук

ХІД УРОКУ

  1. Організаційний момент.

  2. Перевірка виконання домашнього завдання.

1. Наявність письмового завдання перевіряють чергові.

2. № 880 (а) перевірити коментуванням з місця, рівняння записати на дошці.

3. Ліквідація знайдених недоліків.

III. Актуалізація опорних знань учнів.

1. Математичний диктант. (Двоє учнів виконують диктант на відкидних дошках, після чого здійснюється взаємоперевірка, використовуючи відповіді записані на дошці. Виявлені помилки учні підкреслюють, а в кінці уроку зошити здаються на перевірку або заміна зошитів).

1. Запишіть квадратне рівняння, в якого перший коефіцієнт дорівнює 3, другий – 5, а вільний член дорівнює 0.

2. Наведіть приклад квадратного рівняння, у якого другий коефіцієнт і вільний член дорівнюють –2.

3. Запишіть і розв’яжіть неповне квадратне рівняння, у якого перший коефіцієнт дорівнює –5, вільний член дорівнює 7.

4. Квадратним рівнянням називається рівняння вигляду...

5. Числа а, b, с – це ... квадратного рівняння.

6. Існує три види неповних квадратних рівнянь. Запишіть їх.

2. Усні вправи. Подайте у вигляді подвоєного добутку:

а) 6х; б) –0,8у; в) bх; г) 11х;

IV. Мотивація навчальної діяльності.

Учитель. Ми вже навчилися розв’язувати неповні квадратні рівняння, але ви знаєте, що існують ще й повні квадратні рівняння. Їх зазвичай розвязують за формулою, яку можна також використовувати і для неповних квадратних рівнянь, а також для рівнянь з параметрами.

Розвязуванню квадратних рівнянь присвятив свої праці відомий український математик, професор Микола Чайковський (1887–1970). Він протягом тривалого часу працював у вищих навчальних закладах Львова, Одеси, Камянця-Подільського. М.Чайковський зробив вагомий внесок у створення української математичної термінології, а також брав активну участь у виданні українських підручників з математики.

V. Сприйняття й усвідомлення виведення формули коренів повного квадратного рівняння.

Перед тим як вивести формулу коренів повного квадратного рівняння, розглянемо кілька підготовчих вправ. Для цього спочатку пригадаємо формули квадрата двочлена. (Формули учні записують на дошці.)

1. У квадратному рівнянні ах2+ bх + с = 0 назвати коефіцієнти а, b та с:

а) 4х2 + 5х + 1 = 0; б) х2 – 6х + 7 = 0; в) х2 – 14х = 0; г) 3х2 + 25 = 0.

2. Подати у вигляді квадрата двочлена вираз:

а) х2 – 10х + 25; б) 9х2 + 24х + 16; в) 25х2 – 30х + 9.

3. Розвязати рівняння:

а) 16х2 + 8х + 1 = 0; б) х2 – 6х + 9 = 0.

4. Розвязати рівняння, виділивши квадрат двочлена х2 + 8х + 15 = 0.

5. Розвязати рівняння № 924(а, в) (самостійно, з наступною перевіркою).

  1. Виведення формули коренів квадратного рівняння.

1. Виведемо формулу коренів квадратного рівняння ах2 + bх + с = 0.

Помножимо обидві частини рівняння на 4а (а 0), матимемо:

2х2 + 4аbх 4ас = 0,

(2ах)2 + 2∙2ах∙b + b2b2 + 4ас = 0,

(2ах + b)2b2 + 4ас = 0,

(2ах + b)2 = b2 – 4ас.

Вираз b2 – 4ас називають дискримінантом (від латинського diskriminns – той, що розрізняє) даного рівняння і позначають буквою D. Тоді (2ах + b)2 = = D. За значенням D можна визначити (розрізняти) кількість коренів квадратного рівняння ах2 + bх + с = 0.

  1. Встановимо залежність коренів рівняння від дискримінанта.

Вчитель створює проблемну ситуацію, запропонувавши учням відповісти на запитання: – Скільки коренів може мати рівняння (2ах + b)2 = D і від чого це буде залежати? (Якщо учні не можуть знайти правильної відповіді, то вчитель пропонує назвати кількість коренів рівняння виду х2 = а. Аналізуючи разом з учнями їхні відповіді робиться висновок про кількість коренів повного квадратного рівняння. )

1) Якщо D < 0, то дане рівняння не має коренів, тому, що не існує такого значення х, для якого значення виразу (2ах + b)2 було б відємним.

2) Якщо D = 0, то 2ах + b = 0, звідки х = – єдиний корінь.

3) Якщо D > 0, то дане рівняння рівносильне рівнянню

(2ах + b)2 = ()2,

звідки =

2ах + b = або 2ах + b = –

х = х =.

Зауважуємо, що а 0.

У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються тільки знаками перед і їх коротко можна записати так:

x1,2 = .

Цей запис називають формулою коренів квадратного рівняння.

Користуючись нею можна розвязати будь-яке квадратне рівняння.

Щоб рівняння розвязати,

Треба формули всім знати.

Ще й знайти дискримінант –

Не ховайте свій талант.

Якщо D у вас додатний,

То два розвязки знайдеш.

Зможеш точно розвязати,

Шляхом правильним підеш.

Якщо нуль – усе простіше:

Один корінь шукай швидше.

А якщо дискримінант

Має ще від’ємний знак,

То роботі вже кінець –

Зовсім розв’язків немає.

А ти – учень-молодець.

(На дошці вивішується опорний конспект у вигляді таблиці «Розв’язання повних квадратних рівнянь за формулою»)

ах2+ bх + с = 0, а 0 – загальний вигляд квадратного рівняння

D = b2 - 4ас

D < 0

D = 0

D > 0

Коренів немає

х =

х1=, х2=.

Разом із учнями проговорюємо алгоритм «Розв’язання повних квадратних рівнянь за формулою» і показуємо на прикладі форму запису розвязування повних квадратних рівнянь за формулою.

Приклад. Розвязати рівняння 2у2 – 7у + 3 = 0.

D = b2 - 4ас; D = (−7)2 − 423 = 49 – 24 = 25;

D > 0, то рівняння має два корені; = 5.

x1,2 = ; x1,2 = ; х1 = 3; х2= .

або х1=, х1=;

х2=, х2= .

  1. Застосування формул у стандартній ситуації.

1. Cкільки коренів має рівняння: № 922(усно).

2. Розвязати рівняння (колективно, з записами на дошці):

а) № 928 (в); б) № 933 (а), в) № 939 (а).

3. Розв’язати рівняння (самостійно, з наступною перевіркою):

а) № 931 (а); б) № 934 (в); в) № 940 (а).

  1. Підсумок уроку.

На уроці ознайомились з розв’язуванням квадратних рівнянь виділенням квадрата двочлена і вивели формулу коренів квадратного рівняння, яка дає можливість розв’язувати квадратні рівняння, а також з’ясували, що розв’язки квадратних рівнянь залежать від дискримінанта.

Формулюються висновки, які були зроблені на уроці. Коментуються теоретичні положення про формулу коренів квадратного рівняння. Виставляються оцінки.

IX. Домашнє завдання. § 20, № 925 (а), № 932 (б); № 937 (а, в).

Девіз:Вивчіть «ази» науки, перш ніж зійти на її вершину, ніколи не беріться за вивчення наступного, не засвоївши попереднього.”

І.П.Павлов

Урок 4

Тема. Квадратні рівняння. Розв'язування вправ.

Мета. Формувати в учнів навички розв’язування квадратних рівнянь за загальною формулою, уміння знаходити дискримінант і робити висновок про кількість коренів квадратного рівняння. Формувати вміння розв’язувати рівняння, коли другий коефіцієнт – парне число. Розвивати творчі здібності учнів, логічне мислення; спонукати учнів до творчої роботи на уроці; сприяти розвитку уваги, пам’яті учнів.

Учні повинні: розпізнавати квадратні рівняння;

визначати коефіцієнти квадратного рівняння;

знати формули дискримінанта, коренів квадратного рівняння, залежність між значенням дискримінанта та кількість коренів квадратного рівняння;

розвязувати рівняння, користуючись формулами.

Обладнання: картки-завдання для індивідуальної роботи;

картки-завдання для магнітної дошки.

Тип уроку. Урок формування вмінь і навичок.

Епіграф: „Думай і роби, роби і думай.”

І.А.Крилов

ХІД УРОКУ

І. Організаційний момент.

Вступне слово вчителя

Тема нашого уроку «Розв’язування квадратних рівнянь». Сьогодні ми продовжимо формувати вміння розв’язувати квадратні рівняння, а також розглянемо розв’язування квадратних рівнянь з параметрами.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

1. Наявність письмового завдання перевіряють чергові.

2. Приклад № 925 (а) учні коментують за готовими записами на дошці або з проекцією на екрані, посилаючись на питання теорії. Учні звіряють свої записи.

3. Ліквідація знайдених недоліків. У разі потреби вчитель відповідає на запитання, коментує помилки учнів.

ІІІ. Актуалізація опорних знань учнів.

  1. Четверо учнів біля дошки виконують завдання на картках.

Картка 1

    1. Скільки коренів має рівняння

2x2 + 3x + 1 = 0?

    1. Для якого значення а один з коренів рівняння

ах2 – 3х + 3 = 0 дорівнює 2?

Картка 2

        1. Розвязати рівняння

2 + 6х + 1= 0?

        1. Для якого значення b один з коренів рівняння

2bх – 3 = 0 дорівнює 3 ?

Картка 3

    1. Скільки коренів має рівняння

2 + х + 2 = 0?

  1. Для якого значення k один з коренів рівняння

2 – 16х + k = 3 дорівнює 2?

Картка 4

    1. Знайти корені рівняння

2 −14х + 16 = 0?

    1. Для якого значення k один з коренів рівняння

2 – 5х + k = 0 дорівнює 2?

2. Лінгвістична гра.

Учням видаються 2 картки різного кольору. На одній з них закодовані початки означень, які пронумеровані від 1 до 12. На другій – продовження цих означень, які закодовані буквами. Учні зв’язують початок і кінець фрази в одне речення, при цьому встановлюють відповідність між цифрами і буквами. В разі, якщо вони зробили все правильно, отримують закодоване слово «ДИСКРИМІНАНТ».

Отже, прочитайте закодоване слово і назвіть формулу дискримінанта:

(Діти, які сидять за першими партами читають: дискримінант...,і називають формулу дискримінанта )

Картки-завдання

1.

Рівняння виду ах2 + bх + с = 0, де х – змінна, а а, b, с – дані числа, причому а ≠ 0 ...

К

рівнянню х2 = 0

2.

Числа а, b, с –...

Н

називають першим коефіцієнт-том

3.

Неповні квадратні рівняння бувають таких видів ...

И

повними і неповними

4.

Рівняння виду ах2=0 рівно-сильне ...

І

рівносильне рівнянню

х(ах + b) = 0

5.

Один із способів розвязування квадратних рівнянь ...

Д

називаються квадратними

6.

Квадратні рівняння бувають ...

Т

якщо D < 0

7.

Квадратні рівняння можна розвязувати ...

Н

два корені, один корінь

8.

Рівняння виду ах2 + bх = 0 ...

И

коефіцієнтами квадратного рів-няння

9.

Число b в квадратному рівнянні ...

Р

це спосіб виділення квадрата двочлена

10.

Другим коефіцієнтом квадрат-ного рівняння ...

М

за допомогою формул

11.

Повне квадратне рівняння може мати ...

А

називається число b

12.

Квадратне рівняння не має розвязків ...

С

ах2= 0, ах2 + bх = 0, ах2 + с = 0

3. Усні вправи

На дошці записані квадратні рівняння, в яких учні повинні назвати коефіцієнти і обчислити дискримінант і вказати кількість розв’язків (фронтальне опитування).

х2 – 64 = 0; y2 + 49 = 0; 2p2 – 7p = 0;

k2 = 0; 2x2 + 4x – 1 = 0; x2 + 3x + 4 = 0.

  1. Виведення формули коренів квадратного рівняння, коли другий коефіцієнт парний.

На дошці вивішується таблиця з формулою:

ах2 + bх + с = 0; b = 2k; k=

x1,2 = .

Один із сильніших учнів біля дошки за допомогою вчителя виводить формулу записану в таблиці.

Нехай є рівняння ах2 + 2kх + с = 0. Тоді D = (2k)2 – 4ac = 4k2 – 4ac =

= 4(k2 – ac). Зрозуміло, що кількість коренів рівняння залежить від виразу k2 – ac. Позначимо його D1 = k2ac.

Якщо D1 > 0, то рівняння має два різних корені. Знайдемо їх:

x1,2 = = = .

Оскільки b = 2k, то k =.

Якщо D1 = 0, то x = –один корінь (або два рівні).

Якщо D1 < 0, то рівняння не має дійсних коренів.

  1. Формування навичок і вмінь застосовувати формули коренів квадратного рівняння.

  • Розвязати рівняння (із записами на дошці): № 943 (а).

  • Робота в парі. Учні розвязують рівняння № 938(а); 940(а), допомагають один одному, у разі потреби звертаються до вчителя.

  1. Перенесення знань на змінені ситуації.

Приклади. Для якого значення параметра m рівняння

а) х2 + 2х – m =0; б) mх2 – 3х + 1 = 0; в) х2 + mx + 9 = 0;

г) (x + m)2 + 25x2 – 10x + 1 = 0 має один корінь?

Відповіді: а) m = –1; б) m = 2,25; в) m1 = –6, m2 = 6; г) m = –0,2.

  1. Формування вмінь застосовувати отримані знання за допомогою дидактичної гри «Аукціон».

Щоб перевірити рівень засвоєння набутих знань, проводиться гра «Аукціон». На зворотньому боці відкидної дошки прикріплено дві картини, які закриті папером, розрізані на 4 частини. На кожній частині є відповіді на рівняння. Клас ділиться на дві команди, від кожної обираються по 4 учні – представники команди на аукціоні. Біля дошки по черзі вони розвязують рівняння, які отримують на карточках. Після розв’язання, якщо отримана відповідь співпадає з відповіддю, записаною на папері, його дозволяється зняти і відкрити частину картини. Таким чином, поступово під час розвязання рівнянь відкривається уся картина. Якщо її відкрили повністю, то вважається, що команда її купила. Перемагає та команда, яка відкриє свою картину швидше.

Завдання для першої команди

  1. (х − 6)(х+ 3) = 2 – 2х,

  2. (2х − 3)(х + 1) = х2 + 9,

  3. (х + 3)2 = (2х − 1)(х + 15),

  4. (х + 19)(х – 3) –

(2х − 1)(2х + 1) = х – 38.

Завдання для другої команди

  1. (х − 1)(х − 3) = 27 – 2х,

  2. (3х − 2)(х + 3) = 2х2 + 12,

  3. (х – 4)2 = (2х − 3)(х + 2),

  4. (х − 17)(х + 5) –

(2х − 3)(2х + 3) = − 67.

Відповіді: 1. х1 = –4; х2 = 5. Відповіді: 1. х1 = –4; х2 = 6.

2. х1 = –3; х2 = 4. 2. х1 = –9; х2 = 2.

3. х1 = –24; х2 = 1. 3. х1 = –11; х2 = 2.

4. х1 = 2; х2 = 3. 4. х1 = –3; х2 = –1.

  1. Підсумок уроку, оцінювання.

Учитель. Таким чином, на цьому уроці ми пригадали з вами теоретичний матеріал по даній темі, навчилися застосовувати набуті знання й вміння в різних ситуаціях. Ви мали можливість удосконалити свої знання по даній темі. Скажіть, як ви зрозуміли епіграф уроку?

(Висловлювання учнів)

  1. Домашнє завдання. §20, № 941, № 959.

Творче завдання. Скласти кросворд по темі «Квадратні рівняння».

Девіз: „Глибокі думки – це залізні цвяхи, увігнані в розум так, що нічим їх не висмикнути.” Д. Дідро

Урок 5

Тема. Зведене квадратне рівняння. Теорема Вієта.

Мета. Ввести поняття зведеного квадратного рівняння; довести теорему Вієта та обернену до неї. Формувати вміння застосовувати теорему при розв’язуванні квадратних рівнянь, знаходити суму та добуток коренів зведеного квадратного рівняння, здатність робити висновки. Розвивати логічне мислення, самостійність та вміння узагальнювати вивчені факти. Виховувати наполегливість, інтерес до математики.

Учні повинні: мати уявлення про зведене квадратне рівняння;

уміти знаходити суму та добуток коренів зведеного квадратного рівняння, визначати знаки коренів та знаходити його корені за допомогою оберненої теореми Вієта.

Тип уроку. Урок засвоєння нових знань.

Обладнання: картки із завданнями для індивідуальної роботи.

Епіграф: „Немає в світі пагорба, якого наполегливість врешті-решт не досягне.” Ч. Діккенс

ХІД УРОКУ

    1. Організаційний момент.

    2. Перевірка домашнього завдання.

1. Наявність письмового завдання перевіряють чергові або консультанти.

2. Зразки виконань письмового завдання записано на дошці (черговими або консультантами) або проектуються на екран.

    1. Актуалізація опорних знань.

1. Повторити:

означення квадратного рівняння;

коефіцієнти квадратного рівняння та їх назви;

формулу коренів квадратного рівняння;

умови, за якими можна визначити кількість розвязків квадратного рівняння.

2. Усні вправи. (На екран проектуються квадратні рівняння. Відповіді учні подають за допомогою сигнальних карток (червоного кольору – відповідь неправильна, зеленого – правильна)).

а) Назвати коефіцієнти квадратних рівнянь:

9х2 = 0; −4у +5у2 − 5 = 0; 6с + 24с2 = 0; −х2 – 8х + 1 = 0.

б) Обчислити дискримінант:

2х2 + 3х + 1 = 0; х2 + 5х – 6 = 0; 2х2 + 3х + 1 = 0.

в) Вказати кількість розв’язків рівняння:

х2 – 6х + 8 = 0; х2 – 6х + 9 = 0; 3х2 – 14х + 16 = 0.

    1. Сприйняття й усвідомлення поняття зведеного квадратного рівняння.

1. Учитель формулює означення зведеного квадратного рівняння та записує його у загальному вигляді.

2. Учні самостійно розвязують три квадратні рівняння в зошиті, а отримані результати записують у таблиці, яка записана на дошці. Кожен ряд має своє завдання.

Завдання першого ряду Завдання другого ряду

Розвязати рівняння: Розвязати рівняння:

а) х2 – 6х + 8 = 0; а) х2 − 8х + 15 = 0;

б) х2 – 2х – 24 = 0; б) х2 + 3х − 10 =0;

в) х2 + 7х + 10 = 0. в) х2 − х − 6 = 0.

Завдання третього ряду

а) х2 – 10х + 9 = 0;

б) х2 – 6х – 27 = 0;

в) х2 + 7х +12 = 0.

Рівняння

х1, х2

х1 + х2

х1х2

Перший ряд

а) х2 – 6х + 8 = 0;

б) х2 – 2х – 24 = 0;

в) х2 + 7х + 10 = 0.

2;4

6; -4

-2; -5

6

2

-7

8

-24

10

Другий ряд

а) х2 8х + 15 = 0;

б) х2 + 3х − 10 = 0;

в) х2 − х − 6 = 0.

5; 3

2; -5

3; -2

8

-3

1

15

-10

-6

Третій ряд

а) х2 – 10х + 9 = 0;

б) х2 – 6х – 27 = 0;

в) х2 + 7х +12 = 0.

9; 1

9; -3

-4; -3

10

6

-7

9

-27

12

3. Створюється проблемна ситуація.

Учитель перевіряє, чи правильно записані на дошці корені рівнянь та ставить учням запитання: «Як я, не розвязуючи рівняння, встановлюю правильність його розв’язання?»

Виникає проблема, яку учні успішно розв’язують: встановлюється зв’язок між коренями рівняння та його коефіцієнтами.

4. Використовуючи таблицю, учні дають відповіді на запитання вчителя:

1) Чи існує залежність між знаками коренів квадратного рівняння і знаком вільного члена?

2) Чи існує залежність між другим коефіцієнтом і коренями квадратного рівняння?

3) Сформулюйте в загальному вигляді залежність між коренями квадратного рівняння х2 + px + q = 0 і його коефіцієнтами.

( x1 + x2 = - p; x1x2 = q)

Учитель повідомляє учням, що сформульовані залежності вперше виявив Франсуа Вієт. На його честь і названо теорему, з якою учні ознайомлюються далі.

    1. Теорема Вієта. Формулювання й доведення.

1. Робота з підручником. (§ 21)

Учні читають теорему Вієта та розглядають таблицю. Учитель пропонує одному з учнів вголос прочитати (абзац 1, 2 § 21).

2. Учитель ще раз формулює теорему Вієта і доводить її за допомогою учнів.

Теорема. Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнту рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток – вільному члену.

Доведення

Якщо рівняння х2 + px + q = 0 має корені х1 та х2 , то їх можна знаходити за формулами:

D = p2 – 4q; x1 = , x2 =.

Додамо і перемножимо корені рівняння, одержимо:

x1 + x2 = + = = = - p;

x1x2 = = = = =

= = = q.

Отже, x1 + x2 = - p; x1x2 = q, що й треба було довести.

Теорема Вієта справджується і тоді, коли зведене квадратне рівняння має єдиний розв’язок ( або інакше, два рівних між собою розв’язки).

Якщо D = 0, то корені рівняння обчислюються за формулою: x1,2 = .

Тоді їх сума і добуток відповідно дорівнюють: x1 + x2 = -p, x1∙x2 = q.

Теорема Вієта дає можливість, не розв’язуючи зведене рівняння, усно знайти його корені (якщо вони існують). Але для цього потрібно вміти розкладати число на множники.

3. Перетворення повного квадратного рівняння ах2 + bx + c = 0 у зведене.

Кожне квадратне рівняння виду ах2 + bx + c = 0 ( а 0) рівносильне зведеному квадратному рівнянню х2 + х + = 0.

Якщо х1 та х2 – корені даного рівняння, то за теоремою Вієта

х1 + х2 = , х1 х2 = .

Учні роблять висновок, що теорема Вієта справджується для будь-якого повного квадратного рівняння.

4. Робота з підручником. (§ 21, с. 206)

Учні читають теорему, обернену до теореми Вієта і приклад (с.207). Учитель пропонує одному з учнів вголос прокоментувати його розвязування, доведення самої теореми розібрати самостійно вдома.

Учні дають відповідь на запитання:

− Як за оберненою теоремою до теореми Вієта знаходять корені?

VI. Формування навичок розв’язування зведеного квадратного рівняння за теоремою Вієта.

1. Розвязати усно з підручника вправи № 1000, 1001, 1002 (в, г), 1004.

Після виконання вправ учні роблять висновки:

1) якщо зведене квадратне рівняння має цілі корені, то вони є дільниками вільного члена,

2) ці корені однакових знаків, якщо q > 0 та протилежних, якщо q < 0.

2. Для кожного з рівнянь знайти суму та добуток коренів (якщо вони існують):

а) х2 + 7х – 10 = 0; б) у2 – 12у + 33 = 0; в) х2 – 25 = 0; г) – у2 + у = 0;

д) 5х2 – 12х + 5 = 0; е) 2 – 13 = 0.

3. Розвязати рівняння з підручника (колективно, біля дошки з коментуванням) № 1029.

VII. Підсумок уроку.

Учитель пропонує учням відповісти на запитання:

1. Яка тема даного уроку?

2. Які знання, вміння було відтворено на уроці?

3. Які нові знання отримано на уроці?

4. На розвиток яких здібностей, якостей, рис характеру вплинув цей урок?

5.Що корисного для навчання ви винесли з уроку?

VIII. Домашнє завдання. § 21, № 1011, № 1016, № 1028.

Девіз: „Розумний не той, хто багато знає, а той, чиї знання корисні.”

Давньогрецький драматург Есхіл

Урок 6

Тема. Розвязування квадратних рівнянь. Діагностична самостійна робота.

Мета. Перевірити вміння та навички розв’язування квадратних різних видів рівнянь. Розвивати самостійність, вміння шукати і пізнавати цікаву інформацію. Виховувати наполегливість, допитливість, працьовитість, інтерес до математики.

Обладнання: Книга рекордів Гіннесса;

ілюстрації, математичне лото;

„чарівний” прямокутник;

картки-завдання для індивідуальної роботи.

Тип уроку. Урок застосування знань, вдосконалення вмінь і навичок.

Учні повинні: знати означення повного, неповного, зведеного квадрат-ного рівняння;

знати формули коренів повного квадратного рівняння і алгоритми розвязування неповних квадратних рівнянь;

уміти розвязувати повні квадратні рівняння за формулами (через D і D1) і неповні квадратні рівняння за алгоритмом.

Епіграф: „Рівняння – це золотий ключ, який відкриває всі математичні таємниці.” С. Коваль

ХІД УРОКУ

І. Перевірка домашнього завдання.

1. Наявність письмової роботи перевіряють чергові.

2. Письмове завдання № 1011, № 1016 перевіряється коментуванням з місця.

3. Завдання № 1028 один учень записує на дошці. Аналізує його.

ІІ. Повідомлення мети і завдань уроку.

Учитель. Сьогодні ми будемо подорожувати сторінками Книги рекордів Гіннесса. Вона була створена за ідеєю сера Хью Бівера (1890–1967), керівника пивоварної компанії «Гіннесс». Щоб потрапити до «Книги...», потрібно встановити рекорд. Рекордом є те, що перевищує всі існуючі досягнення. Це головний критерій відбору інформації для «Книги...», яка видається на 37 мовах. Продано 65 мільйонів примірників.

ІІІ. Актуалізація опорних знань.

Учитель. Рік, коли було вперше надруковано Книгу рекордів Гіннесса, ви дізнаєтеся, якщо виконаєте вправи і запишете відповіді в порядку виконання номерів завдань. (Біля дошки працюють чотири учні.)

Картка 1. Обчислити дискримінант квадратного рівняння

10х2 – 9х + 2 = 0. (D = 1)

Картка 2. Для якого значення с один з коренів рівняння –4х2 – 5х + с = 0 дорівнює 1? (9)

Картка 3. Розв’язати рівняння 2 – 30у + 75 = 0. (5)

Картка 4. Знайти, для якого значення b рівняння 2 –10х + b = 0 має єдиний корінь? (5)

Відповідь. 1955.

Учитель. 27 серпня 1955 р. вперше було надруковано Книгу рекордів Гіннесса.

2. Кросворд.

1

2

3

4

5

6

7

8

Запитання (записані на дошці або проектуються на екран)

1. Третій коефіцієнт квадратного рівняння 2 + 3х + 30 = 0. (тридцять)

2. Кількість коефіцієнтів квадратного рівняння є число ... . (непарне)

3. Корінь рівняння 2 = 0. (нуль)

4. Перший коефіцієнт квадратного рівняння 2 – 5 = 0. (три)

5. У квадратному рівнянні –7х2 + 13х – 1 = 0 другий коефіцієнт дорівнює

... (тринадцять)

6. Один із коренів рівняння 2 – 72 = 0 дорівнює ... . (шість)

7. Дискримінант квадратного рівняння 2 – 8х –3 = 0 дорівнює ... .(сто)

8. Квадратне рівняння має один або два корені, якщо дискримінант є число ... . (невід’ємне)

Учитель. У виділеному стовпчику ви прочитали слово центишон. Уперше назву використано в 1852 р. Це мільйон в сотому степені, або одиниця з 600 нулями.

ІV. Розв’язування рівнянь.

1. Найдовший автомобіль.

Учитель. Крім великих чисел, у Книгу рекордів Гіннесса внесено і великі комфортні автомобілі. Ви побачите зображення найдовшого автомобіля після того, як виконаєте завдання.

Завдання учні виконують по рядах, після закінчення роботи звіряють відповіді, які записані на закритій частині дошки.

Завдання

1. Розв’язати рівняння 2. Розв’язати рівняння

Перший ряд Перший ряд

2 – 10х + 7 = 0. (х – 4 )(х + 3) = –12.

Другий ряд Другий ряд

16х2 –24х + 27 = 0. .

Третій ряд Третій ряд

2х + = 0. (х + 5)(х – 4) = –20.

Учитель (демонструє зображення автомобіля). Найдовший автомобіль – лимузин довжиною 30,48 м був сконструйований у США (штат Каліфорнія). Він має службовий кабінет, кухню, басейн з трампліном, велике двоспальне ліжко, майданчик для посадки гелікоптера, а також багато технічних новинок. Машина використовується для зйомок у кінофільмах та на виставках.

2. Самий плодотворний композитор.

Учитель (демонструє зображення портрета). Досягнення світу є і в музиці. (Звучить твір Моцарта.) Видатний австрійський композитор VIII ст. Вольфганг Моцарт створив близько 1000 творів, із яких лише 70 були опубліковані за його життя. Скільки років прожив Моцарт, ви дізнаєтеся, коли розв’яжете рівняння. Тоді добуток коренів цього рівняння буде віком життя знаменитого композитора.

На дошці записано рівняння 2 + 44 = (2х – 3)2, розв’язуючи яке самостійно, учні дають відповідь на питання: – Чому дорівнює добуток його коренів?

Відповідь. 35 років (1756–1791).

3. Найбільший парк атракціонів.

Учитель. Цей парк атракціонів має площу 11 332 га (штат Флорида, США). Відкрито його 1 вересня 1971 р. На будівництво було витрачено 400 млн. доларів. У 1988 р. його відвідало 225 млн. чоловік.

Завдання

Розв’яжіть рівняння, поставте відповідь рівняння у відповідність літері з «чарівного» прямокутника. У результаті ви дізнаєтесь назву найбільшого парку атракціонів. (Робота в парах. Завдання учні отримують на карточках.)

1. Розв’язати квадратне рівняння, виділивши квадрат двочлена:

х2 – 6х – 34 = 0.

2. Розв’язати рівняння 2 – 8х – 3 = 0.

3. Розв’язати рівняння 10у2 – 0,8у = 1,92.

4. Розв’язати рівняння (3t – 5)(4t + 1) + (2t + 3)(5t – 4)=6t(3 + 2t) – 11.

5. Для якого значення m рівняння mx2 + 3x + 1 = 0 має єдиний корінь?

6. Для якого значення а число 0,5 є коренем рівняння а2х2 + 2ах – 3 = 0?

С

Д

Н

–8; –2

2; –1/3

–6; 2

Й

Е

І

–0,4; 0,48

2,25

–0,2; 3

Відповідь. Дісней.

  1. Діагностична самостійна робота.

Учні ознайомлюються з умовами самостійної роботи, завдання якої умовно розбиваються на декілька частин. Кожний з учнів вибирає той рівень завдань, який він може виконати.

В – I

7 балів

B – II

B – III

9 балів

B – IV

1.Розвязати рівняння

а) x2 – 9 = 0;

б) 5x2 – 45x = 0;

в) x2 + 3x – 18 = 0.

а) x2 – 16 = 0;

б) 3x2 – 27x = 0;

в) x2 3x 18 = 0.

а) 3x2 – 27 = 0;

б) 5x2 + 45x = 0;

в) 2x2 + x = 3;

г)(р – 3)2 =2(р +1).

а) 9x281x = 0;

б) 3x2 + 27x = 0;

в) 2x2x – 3 = 0;

г)(3с – 5)2 =10с + 9.

B – V

12 балів

B – VI

а) x2 – 25 = 0;

б) 4x3 – 4x = 0;

в) –5x2 + 4x + 33 = 0;

г) (3к – 5)(4к + 1) + (2к + 3)(5к – 4) =

= 6к(3 + 2к) – 11.

а) x2 – 81 = 0;

б) 5x3 – 20x = 0;

в) –3x2 + 4x + 39 = 0;

г) (2,5х – 7)(2х + 3) + 3х + 4 =

= (4х – 9)(1,5х + 1).

2. При яких додатних значеннях с у даному рівняння обидва корені рівні між собою?

x2 – 12x + c = 0.

x2 – 6x + c = 0.

Після закінчення самостійної роботи зошити збираються на перевірку.

  1. Підсумок уроку, оцінювання.

Учитель виставляє оцінки, підбиває підсумки уроку.

  1. Завдання додому. § 19-21 – повторити, № 962, № 967.

Девіз: „Узагальнення – це, мабуть, найлегший і найочевидніший шлях разширення математичних знань.” В. Сойєр

Урок 7

Тема. Квадратні рівняння. Теорема Вієта. Аналіз діагностичної самостійної роботи.

Мета. Узагальнити та систематизувати знання учнів по вивченому матеріалу; ліквідувати можливі прогалини в знаннях учнів. Закріпити навички самостійної роботи. Розвивати наполегливість, цілеспрямованість, творчу активність, логічне мислення. Виховувати охайність, вміння аналізувати, інтерес до математики.

Учні повинні: знати означення повного, неповного, зведеного квадратного рівняння;

знати формули коренів квадратного рівняння і алгоритми розвязування неповних квадратних рівнянь;

знати теореми Вієта;

уміти розв’язувати повні квадратні рівняння за формулами (через D і D1) і неповні квадратні рівняння за алгоритмом;

розв’язувати вправи різного рівня складності

Тип уроку. Урок узагальнення та систематизації знань, умінь та навичок.

Форма проведення уроку. Урок – гра «Математичний конкурс»

Обладнання: картки-завдання для індивідуальної роботи біля дошки;

кросворд (копія для кожного учня);

різнорівневі завдання для самостійної роботи учнів;

картки-завдання для магнітної дошки;

картки з орієнтовними запитаннями для підсумку уроку:

портрет Франсуа Вієта.

Епіграф: „Недостатньо лише мати добрий розум. Головне – раціонально його використовувати.”

Р. Декарт

ХІД УРОКУ

  1. Організаційний момент.

  2. Перевірка домашнього завдання.

1. Наявність письмової роботи перевіряють чергові.

2. Прокоментувати розвязування вправ № 962, № 967 за готовими записами, які спроектовано на екрані.

  1. Мотивація навчання, повідомлення теми і мети уроку.

Учитель. Сьогодні на уроці ми узагальнимо й систематизуємо знання з теми «Розв’язування квадратних рівнянь. Теорема Вієта»; спробуємо дати відповіді на запитання, які ще задачі зводяться до розвязування квадратних рівнянь.

  1. Актуалізація опорних знань.

Учитель. Ще 2400 років тому китайський педагог Конфуцій сказав:

«Те, що я чую, я забуваю.

Те, що я бачу й чую, я трохи памятаю.

Те, що я чую, бачу й обговорюю, я починаю розуміти.

Коли я чую, бачу, обговорюю й роблю, я набуваю знань і навичок ».

То ж закликаю вас до співпраці.

1. Троє учнів біля дошки працюють за індивідуальними картками, що містять завдання:

1. Розвяжіть рівняння:

а) 1 – 18р + 81р2 = 0; б) х2 – 25 = 0; в) 5х + х2 = 0.

2. У рівнянні х2 + 17х + с = 0 один з коренів дорівнює –12. Знайдіть другий корінь і число с.

3. Розвяжіть рівняння з параметром m: mх2 + 8х + 1 = 0. При яких значення m рівняння має два різних корені?

2. Відгадування кросворда «Квадратні рівняння». Проводиться теоретичне письмове опитування учнів. Кожен учень отримує кросворд із завданням вписати слова, пропущені у запитаннях і виконує тестові завдання. На роботу відводиться 3–5 хв.

1

Ф

2

Р

3А

4

Н

5

С

6

У

7

А

8

В

9

І

10

Є

11Т

Запитання: 1. Число при змінній у квадратному рівнянні.

(Коефіцієнти.)

2. Розв’язки квадратного рівняння.

(Корені.)

3. Ф. Вієта називають її батьком.

(Алгебра.)

4. Перший коефіцієнт зведеного квадратного рівняння.

(Одиниця.)

5. Вираз b2 – 4ac для квадратного рівняння.

(Дискримінант.)

6. Степінь квадратного рівняння.

(Другий.)

7. Яке значення дискримінанта квадратного рівняння, що має два корені?

(Додатне.)

8. Квадратне рівняння, перший коефіцієнт якого дорівнює одиниці.

(Зведене.)

9. Дискримінант у перекладі з латинської мови.

(Розрізняючий.)

10. Яке значення дискримінанта квадратного рівняння, що не має коренів на множині дійсних чисел?

(Від’ємне.)

11. Скільки є видів неповних квадратних рівнянь?

(Три.)

Тестові завдання відкритої форми.

Варіант 1.

а) Якщо ах2 +bx + с = 0 – квадратне рівняння, то:

а називають _______________ ;

b називають _______________ ;

с називають _______________.

б) Корені квадратного рівняння ах2 +bx + с = 0 обчислюють так:

D = ;

D 0 ; x1,2 = … .

в) Квадратне рівняння вигляду x2 + px + q = 0 називають ______________.

г) Теорема Вієта стверджує, що в рівнянні вигляду x2 + px + q = 0

хЛевая фигурная скобка 912=_______,

х1∙х2=_______;

де х1, х2корені рівняння.

Варіант 2.

а) Якщо ах2 +bx + с = 0 – квадратне рівняння, то:

– старший коефіцієнт – це число _____;

– другий коефіцієнт – це число _____;

– вільний коефіцієнт – це число _____;

б) Корені квадратного рівняння ах2 +2kx + с = 0 обчислюють так:

D1 = ;

D1 ≥ 0, x1,2 = … .

в) Зведене квадратне рівняння – це рівняння вигляду __________.

г) Теорема Вієта (обернена) стверджує, що якщо х1, х2корені рівняння і

хЛевая фигурная скобка 812 = – p,

х1∙х2 = q;,

то рівняння має вигляд ______________ .

Учитель перевіряє роботи разом з учнями (відповіді проектуються на екран) і виставляє оцінки. Підбиваючи підсумки цього виду роботи, перевіряють відповіді на питання кросворда.

  1. Захист розв’язання рівнянь учнями, які працювали біля дошки.

У своїх відповідях вони узагальнюють прийоми розв’язування неповних квадратних рівнянь, застосування теореми Вієта, використання формул для обчислення коренів квадратного рівняння.

  1. Учитель. Продовжимо роботу після невеличкого повідомлення про Франсуа Вієта – знаменитого французького математика, якого ще називають «батьком алгебри» і про якого американський математик XX ст. Г. Сміт сказав: «Вієт... будучи у віці взявся за математику за покликанням. Незважаючи на це, він став найвидатнішим математиком кінця XVI століття». Слід додати, що у 2003 р. виповнилося 400 років від дня смерті Ф. Вієта. (демонструється на екран портрет Франсуа Вієта)

Повідомлення про Франсуа Вієта

Франсуа Вієт (1540–1603) французький математик народився в 1540 р. у містечку Фонтене-ле-Конт (Франція). Його батьки були заможними людьми і завжди мріяли, щоб син став адвокатом. У 1559 році Франсуа закінчив школу і почав адвокатську діяльність. Вієт вів справи однієї дворянки і водночас навчав астрономії її дочки. Проводячи уроки, Франсуа захопився астрномією. Весь свій вільний час він віддає написанню великої праці з астрономії. А для цього він займався вивченням тригонометрії.

У 1571 році Вієт приїжджає до Парижа, щоб серйозно займатися математикою. Розповідають, що нерідко, розв’язуючи якусь цікаву задачу, Франсуа забував навіть про їжу і просиджував за робочим столом кілька днів підряд.

Франсуа Вієт створив, по суті, нову алгебру, ввівши в неї буквенну символіку. Після його відкриття стало можливим записувати правила у вигляді формул. До цього навіть розвязування квадратних рівнянь, яке легко виконати за готовими формулами, записувалось у вигляді дуже довгих словесних описів і дій.

Ф. Вієт розробив ряд важливих питань теорії рівнянь 1–4 степенів.

Великою заслугою цього вченого було відкриття залежності між коренями і коефіцієнтами зведених рівнянь для довільного натурального степеня. Нам добре відоме це відкриття як теорема Вієта для зведеного квадратного рівняння.

Вієт активно застосовував свої знання з алгебри і геометрії в різних галузях. Ще треба зауважити, що він дав перше в Європі аналітичне представлення числа π.

Помер Франсуа Вієт у віці 63 років у Парижі.

Його іменем на видимій стороні Місяця названо кратер.

  1. Колективна робота.

Розвязування вправ на застосування теореми Вієта і теореми, оберненої до неї.

Варіант 1

Варіант 2

Доберіть корені рівняння

x2 – 7x + 12 = 0.

(x1 = 3; x2 = 4)

y2+ 5y + 6 = 0.

(y1 = –2; y2 = –3)

Запишіть зведене квадратне рівняння, коренями якого є числа:

3 і –15.

2 + 12х – 45 = 0).

7 і 4.

2 + 3х – 28 = 0).

Один із коренів рівняння дорівнює 3. Знайдіть другий корінь рівняння:

х2 + 15х – 54 = 0.

1 = 3, х2 = –18).

х2 – 19х + 48 = 0.

1 = 3, х2 = 16).

Підбиваючи підсумки цього етапу, ще раз з’ясовуємо питання:

  • Що стверджує теорема Вієта?

– Як формулюється теорема, обернена до теореми Вієта?

  • Чому дорівнює сума і добуток коренів квадратного рівняння ах2 + bx + + с = 0?

Учитель оцінює роботу учнів на цьому етапі.

  1. Узагальнення знань.

УЛевая фигурная скобка 7читель. Теорему Вієта можна використовувати для розвязування системи рівнянь: x + y = m,

xy = n.

Систему можна розвязати, використавши вивчений у 7-му класі метод підстановки. Але зручніше і раціональніше використати теорему, обернену до теореми Вієта. Такий спосіб полягає в тому, що значення х та у, які задовільняють систему, розглядають як корені квадратного рівняння, складеного за твердженням, оберненим до теореми Вієта.

    1. Розвязати систему рівнянь:

Левая фигурная скобка 6 x + y = 3,

xy = –10.

Розвязання

За теоремою, оберненою до теореми Вієта, значення х та у є коренями квадратного рівняння t2 – 3t – 10 = 0. Тоді t1 = –2, t2 = 5. Отже,

Левая фигурная скобка 4Левая фигурная скобка 5 x= –2, x = 5,

y = 5 y = –2.

Відповідь. (–2;5),(5;–2).

Учитель. Теорему Вієта можна застосовувати до розвязування дробових раціональних рівнянь.

    1. Розв’язати рівняння:

= 0.

Розвязання

ОДЗ змінної х: х – 1 ≠ 0, х ≠ 1.

Розвязування даного рівняння зводиться до розвязування квадратного рівняння х2 – 3х + 2 = 0.

Нехай х1 та х2 – корені рівняння. За теоремою Вієта маємо:

Левая фигурная скобка 3Левая фигурная скобка 2 x1 + x2 = 3, x1 = 1,

x1 ∙ x2 = 2, x2 = 2.

Значення х1 = 1 не належить ОДЗ змінної х.

Відповідь. 2.

  1. Контроль якості засвоєння знань. Самостійна робота учнів в парах.

Кожна пара учнів отримує картку-завдання певного рівня.

Зразки карток-завдань різних рівнів

I рівень

II рівень

III рівень

1. Розвяжіть рівняння

а) х2 – 7х = 0;

б) х2 – 5х + 6 = 0;

в) 5х2 + 8х – 4 = 0.

1. Розвяжіть рівняння

а) 7х2 + х = 0;

б) 3 + 2х2 + 2х = 0;

в) –3х2 – 4х + 2 = 0.

1. Розвяжіть рівняння

а) х3 – 7х2 = 0;

б) 9х2 + 6х = 1;

в) 4(х – 1)2 = 12х + 3.

2. Доберіть корені рів-няння х2 – 9х – 14 = 0.

2. Доберіть корені рівнян-ня 2 – 20х – 78 = 0.

2. Нехай х1 та х2корені рівняння

х2– 8х + 3 = 0.

Не розвязуючи рівнян-ня, знайдіть значення виразу .

3. Зведіть рівняння

(х + 3)(х – 3) = 2х + 4 до вигляду ах2 + bх + с = 0

3. Знайдіть р і х1,

якщо х2 + px + 28 = 0 і

х2 = − 7, де х1, х2 - корені квадратного рівняння

3. Корені х1 та х2 рівняння х2 – 2х + c = 0 задовольняють умову

1 + х2 = 1. Знайти значення c.

Максимальна оцінка

6

9

12

Учні працюють в парах, допомагаючи одне одному, а по завершенні виконання завдань оцінюють свою роботу за наступними критеріями:

– Розвязав сам без помилок і допоміг товаришеві – 12 балів (відповідно: 9 і 6).

– Розвязав сам, проте скористався консультацією товариша – 10 балів (відповідно: 7 і 5).

– Розвязував з допомогою товариша і вчителя – 8 балів (відповідно: 5 і 4).

Свої оцінки учні погоджують з учителем.

  1. Підсумок уроку.

Учитель. Саме час повернутися до початку уроку – до мети, яку мо перед собою ставили. Поміркуйте, чи досягли ви її. Чи відтворили знання про квадратне рівняння та способи його розв’язування, чи перевірили свої навчальні досягнення під час виконання завдань?

Приготуйте картки з орієнтовними запитаннями для аналізу методом «різнокольорових листків».

(Учні підбивають підсумки своєї роботи на уроці, роботи товаришів та вказують на важливі висновки, які можна зробити в різних ситуаціях).

Інтерактивна гра “Акваріум”.

У центр кола сідають за бажанням 5-6 учнів. Кожен із них по черзі підбиває підсумки уроку, решта слухають і доповнюють.

1. Самооцінка роботи учнів:

– Чи виконав запропоновану на уроці програму повністю?

– Які види робіт викликали труднощі і потребують повторення матеріалу?

– В яких своїх знаннях упевнений?

– Чи допоміг урок просунутися в знаннях, уміннях, навичках?

2. Оцінювання роботи товаришів:

– На скільки цікавим і результативним, на вашу думку, для учнів класу був цей урок?

– Хто, на вашу думку, зробив найбільший внесок у його результативність?

– Кому і над чим варто попрацювати?

3. Оцінювання важливості даного уроку.

– Що корисного для навчання, для подальшого життя ви винесли з уроку? (Училися самостійно працювати, досягати успіху, допомагати іншим, спілкуватися тощо.)

– Чому можемо сказати, що цей урок важливий для нас?

– Де, в яких ситуаціях ви можете використовувати набутий на уроці досвід?

3. Оцінка результатів уроку вчителем.

Оцінювання роботи класу (активність, адекватність відповідей, неординарність роботи окремих учнів, рівень самоорганізації тощо).

4. Висновки щодо уроку, окремих його етапів, загальної атмосфери

і т. ін.

  1. Завдання додому. За підручником повторити § 19 – 21. Завдання для самостійної роботи, варіант 1, № 1, с. 231. Підготуватися до контрольної роботи.

Девіз: „Хто нічого не знає, тому ні в чому помилятися.”

Давньогрецький поет Менандра

Урок 8

Тема. Контрольна робота «Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння. Формула коренів квадратного рівняння. Теорема Вієта.»

Мета. Зясувати рівень навчальних досягнень учнів з теми “Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння. Формула коренів квадратного рівняння. Теорема Вієта.” Формувати уміння працювати самостійно, охайно. Розвивати мислення, пам’ять. Виховувати почуття відповідальності за свій рівень знань, інтерес до математики.

Учні повинні: знати формули коренів квадратного рівняння і алгоритми розвязування неповних квадратних рівнянь;

знати теореми Вієта;

уміти розв’язувати повні квадратні рівняння за формулами (через D і D1) і неповні квадратні рівняння за алгоритмом;

розв’язувати вправи різного рівня складності

Обладнання: індивідуальні картки-завдання.

Тип уроку. Урок перевірки та контролю знань, умінь і навичок.

Епіграф: „Щоб дійти до мети, треба перш за все йти.”

Оноре де Бальзак

ХІД УРОКУ

І. Організаційний момент.

Учні ознайомлюються з умовами контрольної роботи, завдання якої умовно розбиваються на декілька частин. Кожний з учнів вибирає той рівень завдань, який він може виконати.

ІІ. Контрольна робота.

Проводиться у двох варіантах. Кожен варіант містить 10 завдань, з яких:

шість - тестові завдання (мають п'ять варіантів відповідей); одне - завдання з вибором кількох правильних відповідей; одне - завдання на встановлення відповідності; два - завдання відкритої форми з розгорнутою відповіддю.

Варіант І

Завдання 1-6 мають пять варіантів відповідей, серед яких лише ОДИН ПРАВИЛЬНИЙ. Виберіть правильну, на вашу думку, відповідь і позначте її. Кожне завдання 1-6 оцінюється одним балом.

  1. Визначити яке з рівнянь є квадратним?

А

Б

В

Г

Д

7х2 + 9х – 8 = 0

−6 ( 2х – 9 ) = 0

х – 4 = 0

  1. Знайдіть дискримінант квадратного рівняння 3х2 – 4х – 5 = 0.

А

Б

В

Г

Д

−71

76

73

−76

81

  1. Складіть квадратне рівняння, коефіцієнти якого дорівнюють: а = 2, b = 5, с = − 8.

А

Б

В

Г

Д

5х2 −8х +2= 0

8х2 +5х +2= 0

2х2 +5х–8 = 0

2 −8х +5= 0

2 +2х –8= 0

  1. Зведіть рівняння (х + 3)(х – 3) = 2х + 4 до вигляду ах2 + bх + с = 0.

А

Б

В

Г

Д

х2 + 13х = 0

х2 +2х +13= 0

х2 +2х –13= 0

х2 −2х –13= 0

х2х + 13 = 0

  1. Розвяжіть рівняння −7х2 = 28.

А

Б

В

Г

Д

−2 і 2

−4

−2

2

Коренів немає

  1. Знайдіть суму коренів рівняння х2 – 10х + 25 = 0.

А

Б

В

Г

Д

5

−10

−5 і 5

10

−5

Завдання з вибором кількох правильних відповідей. Завдання оцінюється двома балами.

  1. Укажіть правильні твердження.

  1. Сума коренів квадратного рівняння 2х2 – 5х – 8 = 0 дорівнює 2,5.

  2. Добуток коренів квадратного рівняння х2 + 3х – 7 = 0 дорівнює 7.

  3. Дискримінант квадратного рівняння 0,5х2 − 4х + 3 = 0 дорівнює 10.

  4. Рівняння 5х2 − 2х + 1 = 0 має два корені.

  5. Коефіцієнти квадратного рівняння −х2 + 7х − 13 = 0 дорівнюють:

а = −2, b = 7, с = −13.

  1. Рівняння 2х2 + 9х − 4 = 0 не має коренів.

  2. У квадратному рівнянні х2 – 5х + 6 = 0 сума коренів дорівнює 5, а добуток – 6.

Завдання на встановлення відповідності. Завдання оцінюється двома балами.

  1. Установіть відповідність між рівняннями (1 − 4) та їх коренями (А – Д).

1. х2х – 6 = 0

А. −3; −2

2. х2 – 5х + 6 = 0

Б. −2; 3

3. х2 + х – 6 = 0

В. 2; 3

4. х2 + 5х + 6 = 0

Г. Коренів немає

Д. −3; 2

Завдання відкритої форми з розгорнутою відповіддю. Кожне завдання 9 – 10 оцінюється одним балом.

  1. Розвяжіть рівняння ()(х2х – 12) = 0.

  2. Знайдіть р і х1, якщо х2 + px + 28 = 0 і х2 = − 7, де х1 і х2 – корені квадратного рівняння.

Варіант ІІ

Завдання 1-6 мають пять варіантів відповідей, серед яких лише ОДИН ПРАВИЛЬНИЙ. Виберіть правильну, на вашу думку, відповідь і позначте її. Кожне завдання 1-6 оцінюється одним балом.

  1. 1. Визначити яке з рівнянь є квадратним?

А

Б

В

Г

Д

х2 + 5х – 8 = 0

6 (2х – 9) = 0

х – 9 = 0

  1. 2. Знайдіть дискримінант квадратного рівняння 3х2 + 4х – 5 = 0.

А

Б

В

Г

Д

−71

76

73

−76

81

  1. 3. Складіть квадратне рівняння, коефіцієнти якого дорівнюють: а = 2,

  2. b = −5, с = 8.

А

Б

В

Г

Д

5х2 −8х +2= 0

8х2 −5х +2= 0

2х2 −5х +8= 0

2 −8х +5= 0

2 +2х –8= 0

  1. 4. Зведіть рівняння (х + 3)(х – 3) = 2х − 4 до вигляду ах2 + bх + с = 0.

А

Б

В

Г

Д

х2 + 13х = 0

х2 +2х +13= 0

х2 +2х –13= 0

х2 −2х –5 = 0

х2 −2х +13= 0

  1. 5. Розвяжіть рівняння 6х2 = −24.

А

Б

В

Г

Д

−2 і 2

−4

−2

2

Коренів немає

  1. 6. Знайдіть суму коренів рівняння х2 + 10х + 25 = 0.

А

Б

В

Г

Д

−5

−10

0

10

5

Завдання з вибором кількох правильних відповідей. Завдання оцінюється двома балами.

  1. 7. Укажіть правильні твердження.

  1. Сума коренів квадратного рівняння 2х2 – 7х – 8 = 0 дорівнює 3,3.

  2. Добуток коренів квадратного рівняння х2 + 3х + 7 = 0 дорівнює 7.

  3. Дискримінант квадратного рівняння 0,5х2 + 4х + 3 = 0 дорівнює 10.

  4. Рівняння 5х2 + 2х + 1 = 0 має два корені.

  5. Коефіцієнти квадратного рівняння 2х2 − 7х + 13 = 0 дорівнюють: а = 2, b = −7, с = 13.

  6. Рівняння 2х2 − 9х − 4 = 0 не має коренів.

  7. У квадратному рівнянні х2 – 6х +5 = 0 сума коренів дорівнює 6, а добуток – 5.

Завдання на встановлення відповідності. Завдання оцінюється двома балами.

  1. 8. Установіть відповідність між рівняннями (1 − 4) та їх коренями (А – Д).

1. х2 + х – 6 = 0

А. 2; 3

2. х2 + 5х + 6 = 0

Б. −3; 2

3. х2х – 6 = 0

В. −3; −2

4. х2 − 5х + 6 = 0

Г. Коренів немає

Д. −2; 3

Завдання відкритої форми з розгорнутою відповіддю. Кожне завдання 9 – 10 оцінюється одним балом.

  1. 9. Розвяжіть рівняння (1)(х2 + 14х – 15) = 0.

  2. 10. Знайдіть q і х2, якщо х2 + qx + 35 = 0 і х1 = 5, де х1 і х2 – корені квадратного рівняння.

ІІІ. Завдання додому. Повторити § 19 – 21. Тестові завдання № 4, с. 234.

IV. Підведення підсумку уроку.

У ході фронтальної бесіди з'ясувати, які завдання викликали труднощі, та відповісти на запитання учнів.

Девіз: „Розумний не той, хто багато знає, а той, чиї знання корисні.”

Давньогрецький драматург Есхіл

Урок 9

Тема. Аналіз контрольної роботи. Розв'язування вправ.

Мета. Проаналізувати помилки, виявлені під час перевірки контрольної роботи; провести їх корекцію. Повторити формули коренів квадратного рівняння, теорему Вієта. Розв’язувати вправи різного рівня складності. Виховувати бажання працювати; розвивати пізнавальні інтереси.

Учні повинні: знати теореми Вієта;

уміти знаходити суму і добуток коренів квадратного рівняння; знаходити корені квадратного рівняння, користуючись теоремами Вієта;

складати рівняння за його коренями;

розв’язувати вправи різного рівня складності.

Тип уроку. Комбінований урок.

Обладнання: картки із завданнями, таблиці.

Епіграф: „Працюй для того, щоб насолоджуватися.”

Ж.Ж. Руссо

ХІД УРОКУ

І. Організаційний момент.

ІІ. Аналіз контрольної роботи. Робота над помилками.

1. Повідомлення статистичних даних (оголошення оцінок).

2. Поелементний аналіз:

а) розвязування неповного, повного, зведеного квадратних рівнянь;

б) знаходження значення змінної, для якого квадратне рівняння має один корінь;

в) розвязування рівняння з параметром;

г) використання теореми Вієта при знаходженні коренів квадратного рівняння.

3. Учні, які виконали роботу без помилок, розвязують вправу № 1035 (а) з підручника.

Один з учнів працює на відкидній дошці, решта – самостійно в зошитах. Учитель перевіряє роботу учня, інші здійснюють самоперевірку.

4. Повторення питань теорії:

– загальний вигляд квадратного рівняння;

– коефіцієнти квадратного рівняння;

– формула дискримінанта;

– залежність коренів квадратного рівняння від дискримінанта;

– загальна формула коренів квадратного рівняння;

– теорема Вієта.

5. Робота учнів над помилками, які вони допустили під час виконання контрольної роботи.

6. Розвязування біля дошки вправ, аналогічних до тих, у яких було допущено помилки.

ІІІ. Розв’язування рівнянь з використанням формули дискримінанта.

Учитель пропонує учням розв’язати наступні квадратні рівняння, які заздалегідь записані на дошці (самостійно за теоремою Вієта).

1. Усі рівняння першого стовпчика підібрані так, що мають однаковий корінь х1 = 1, а рівняння другого стовпчика мають однаковий корінь х1= –1, другі корені у них різні.

1) х2 + 3х – 4 = 0; 4) х2 – 6х – 7 = 0;

2) х2 – 3х + 2 = 0; 5) х2 – 2х – 3 = 0;

3) х2+ 5х – 6 = 0; 6) х2 – 5х – 6 = 0.

2. Розвязати квадратне рівняння (колективно за формулою):

Два учні біля дошки розв’язують квадратні рівняння, записані на картках.

(Інші учні виконують це завдання в зошитах.)

а) 2 – 8х + 3 = 0 (х1 = 1; х2 = ); б) 2 + 8х + 3 = 0 (х1 = – 1; х2 = ).

IV. Вивчення нових властивостей квадратного рівняння.

Виникає проблема: коли зведене квадратне рівняння має корінь 1 або –1? Коли повне квадратне ах2 + bx + c = 0 має корінь 1 або –1?

Учням пропонується відповісти на запитання та виконати такі завдання:

1. Порівняти розвязки рівнянь.

2. Чи мають рівняння однаковий корінь? Якщо так, то чому він дорівнює?

3. Знайдіть значення виразу a + b + c для цих рівнянь.

4. Знайдіть значення виразу a b + c для цих рівнянь.

5. Сформулюйте загальний висновок щодо закономірностей, які ви помітили?

Демонструється таблиця, інформацію з якої учні переписують в зошити.

ах2 + bx + c = 0; а 0

Якщо

a + b + c = 0,

то х1 = 1,

х2 = ;

a b + c = 0,

то х1 = – 1,

х2 = .

Учитель пропонує сильнішим учням вдома самостійно довести ці висновки різними способами.

6. Використовуючи таблицю, розвяжіть усно рівняння:

а) 2 – 12х +7 = 0; б) 2 + 3х – 11 = 0; в) 2006х2 – 3х – 2003 = 0.

Звертається увага учнів на те, що існують інші способи розвязування повних квадратних рівнянь усно, а саме: „перекидання” коефіцієнтів.

V. Розвязування на дошці вправ високого рівня складності.

Колективна робота.

1. Не розв’язуючи рівняння х2 – 7х – 8 = 0, знайти:

а) х1 + х2 + х1х2 (із записом на дошці);

б) х13 + х23 (із записом на дошці).

2. Корені х1 та х2 рівняння х22х + а = 0 задовольняють умову

2х1 + х2 = 1. Знайти значення а.

3. Спростити вираз: а) ;

б) .

VІ. Підсумок уроку.

Учитель після підведення підсумку роботи на уроці пропонує учням відповісти на запитання:

  • Чи тяжкі виявилися завдання під час написання контрольної роботи?

  • Які завдання сподобалися більше?

  • Які завдання виявилися тяжкими? Що потрібно для цього знати й вміти?

VIІ. Домашнє завдання. Повторити § 20, 21. № 1032.

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.