Контрольна робота на тему "Основы теории вероятности и математической статистики"

Опис документу:
На уроке №15 проводится контрольная работа. Контрольная работа проверяет следующие умения: • умение вычислять вероятность событий, используя формулы вероятности и статистическое определение вероятности; • умение составлять закон распределения различных случайных дисциплин; • умение вычислять математическое ожидание случайных величин.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Основы теории вероятности и математической статистики

  1. Разработка средств тематического контроля.

На уроке №15 проводится контрольная работа. Контрольная работа проверяет следующие умения:

  • умение вычислять вероятность событий, используя формулы вероятности и статистическое определение вероятности;

  • умение составлять закон распределения различных случайных дисциплин;

  • умение вычислять математическое ожидание случайных величин.

Контрольная работа

1. В сумке лежат 15 шариков, из которых 10 красных, остальные синие. Наугад вытянули 4 шарика.

а) найти вероятность того, что все 4 шарика красные;

б) сколько приблизительно раз все 4 шарика будут красными, если опыт повторить 100 раз.

в) найти вероятность того, среди 4 шариков будут ровно 3 красные.

2. Подключение к сети Интернет осуществляется двумя способами, через телефонную линию или через спутник. Вероятность безотказной работы телефонной линии 0,4, а спутниковой связи 0,9.

Найти вероятность того, что:

а) действуют оба соединения;

б) действует только телефонная связь;

работает хотя бы одно соединение.

3. На почту за сутки приходит максимально 3 посылки, при этом на протяжении 100 дней наблюдения, не приходило ни одной посылки – 10 дней, приходила одна посылка в сутки – 20 дней, приходило две посылки – 30 дней и три посылки – 40 дней.

Найти: а) закон распределения; б) математическое ожидание; в) закон распределения за 2 дня.

Оценивание производится следующим образом:

всего

3

4

5

3

4

5

3

4

5

36

Перевод баллов в оценку:

Баллы

0 - 4

5 - 9

10 - 21

22 - 36

оценки

1, 2, 3

4, 5, 6

7, 8, 9

10, 11, 12

Тест

  1. Бросают монету. После 10 бросков все 10 раз выпал герб. Что вероятнее: на 11 броске выпадет герб или на 11 броске выпадет решка.

А. равновероятны

Б. выпадет герб

В. выпадет решка

Г. ничего сказать нельзя

  1. В партии из 20 телевизоров 3 поломаны. Вероятность того, что наугад взятый телевизор без поломок, равна…

А. 3/20

Б. 7/20

В. 1/2

Г. ответ отличен от приведенных

  1. Электрическая цепь содержит два элемента. Пусть Аi – событие, заключающееся в том, что поломается i элемент. Что означает событие А1?

А. оба элемента поломаны

Б. А1 работает, а А2 не работает

В. А1 не работает, а А2 работает

Г. один из элементов сломан

  1. Имеем три попарно несовместных события. Их сумма является достоверным событием. Вероятности этих событий относятся, как 3:2:1. Найти эти вероятности.

А.

Б.

В.

Г. ответ отличен от приведенных

  1. Урна содержит 5 белых и три чёрных шарика. Наугад берут один за другим два шарика, причём взятый шарик в урну не возвращается. Вычислите вероятность того, что второй шарик белый.

А. 5/8

Б. 3/8

В. 5/7

Г. ответ отличен от приведенных

  1. Какая из таблиц задаёт закон распределения случайной величины.

А.

х

0

1

2

3

Б.

х

1

2

3

4

р

0,1

0,5

0,1

0,3

р

0,3

0,1

0,2

0,3

В.

х

0

1

2

3

Г. ни одной

р

-0,1

0,3

0,4

0,4

  1. Чему равно математическое ожидание случайной величины.

х

0

1

5

10

р

0,85

0,8

0,02

0,01

А. 0,3

Б. 1

В. 0,02

Г. ответ отличен от приведенных

  1. Чему равно математическое ожидание суммы количества очков, что выпадают при подбрасывании двух игральных кубиков.

А. 6

Б. 7

В. 8

Г. ответ отличен от приведенных

  1. Вычислите дисперсию случайной величины.

у

0

1

4

9

р

0,1

0,4

0,4

0,1

А. 2,9

Б. 3

В. 0,5

Г. ответ отличен от приведенных

  1. Чему равна D(2х+3), если закон распределения случайной величины задан следующей таблицей?

х

-2

-1

0

2

р

0,1

0,2

0,5

0,2

А. 0,7

Б. 1

В. 1,4

Г. ответ отличен от приведенных

Ответы к тесту

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

А

Б

В

Б

А

Г

Б

Б

А

В

  1. Вступительный урок по теме.

Мотивация изучения темы

Исход некоторых событий мы не можем предвидеть. Например, подбросив монету, мы не знаем точно, что выпадет: «орёл» или «решка». Или:

  • игра в рулетку (неизвестно, на каком поле остановится шар);

  • рождаемость (неизвестно, сколько родится мальчиков или девочек в некоторый (определённый год)).

Но если провести большое число опытов (много раз подбросить монету), то количество, допустим, выпадения герба, можно приблизительно указать. Вычислением такого рода величин и занимается теория вероятности.

Цель: заложить основы работы со статистическим материалом, дать представления о вероятностном характере законов природы и общества, способствовать развитию статистического мышления учеников, научить их строить простейшие вероятностные модели реальных ситуаций.

В результате изучения темы учащиеся должны уметь:

  • оценивать вероятность события по его относительной частоте и наоборот;

  • вычислять вероятность события, используя её определение и простейшие свойства;

  • составлять законы распределения случайных величин в простейших случаях;

  • вычислять математическое ожидание и дисперсию случайных величин по закону её распределения, а также пользуясь свойствами математического ожидания.

  • Обязательные результаты обучения

1. Было проверено 200 деталей, среди которых 5 оказались бракованными. Какова вероятность того, что наугад взятая деталь будет: 1) качественной; 2) бракованной. Сколько бракованных деталей встретится в партии из 1000 штук.

2. В результате длительных наблюдений установлено, что данный стрелец из 100 независимых выстрелов 20 раз выбил 8 очков, 50 раз – 9 и 30 раз – 10 очков, что можно сказать о количестве очков, которые стрелец выбьет за два независимых выстрела.

3. В лотерее из одиннадцати билетов три выигрышных. Какова вероятность того, что наугад взятый билет: 1) выигрышный; 2) проигрышный.

4. На некотором предприятии 96% продукции считается качественной. Из качественных продуктов в среднем 75% составляют продукты первого сорта, остальные – второго. Найдите вероятность того, что продукт, произведенный на этом предприятии окажется второсортным.

5. Случайная величина Х значения 1, 2, 3, 4, причём Р(х=1)=0,4; Р(х=2)=0,3; Р(х=3)=0,2. Найдите Р(х=4), Р(х2), Р(х).

6. Вычислить математическое ожидание количества устройств, которые поломались во время испытания на надёжность, если испытанию подлежит одно устройство, и вероятность его поломки равна р.

7. Дан закон распределения случайной величины х. Найти М(-2х+3): 1) используя свойства математического ожидания; 2) составить закон распределения случайной величины -2х+3.

х

-2

0

1

3

р

0,3

0,2

0,4

0,1

Обзор темы

Актуализация опорных знаний

Перед изучением этой темы не встречались с понятием вероятности (в строгом её определении), но у них присутствует некоторое понимание этого понятия. На вопрос: какое из событий вероятнее… - они будут иметь некоторую точку зрения.

На вступительном уроке предполагается актуализация их первичных понятий о вероятности. Актуализация проводится в виде теста:

1. Мальчик, играя в лотерею много раз, постоянно проигрывал. Он не падает духом и рассуждает так. В таких играх, как лотерея, иногда проигрываешь, иногда выигрываешь. Я проиграл много раз, поэтому у меня теперь больше надежды на выигрыш, чем у тех, кто выигрывал раньше. Согласны ли вы с ним?

А. нет

Б. да

В. ваш вариант

Г. нельзя ответить

2. Мария выиграла в «Спортлото», когда зачеркнула числа 1, 7, 13, 21, что лучше зачеркнуть эти «счастливые» числа в следующем розыгрыше, или выбрать другие числа?

А. зачеркнуть те же

Б. зачеркнуть новые

В. всё равно

Г. нельзя ответить

3. Играя в «Спортлото», Аня зачеркнула пять последовательных чисел, а Оля пять произвольных чисел. У кого из них больше шансов выиграть?

А. У Ани

Б. У Оли

В. шансы равны

Г. ответ отличен от приведенных

4. Старшая сестра предлагает младшей поиграть в такую игру: обе не глядя, вытягивают по одному шарику из своих коробок, выигрывает та, которая вытянула белый шарик. В коробке у старшей сестры 4 белых и 2 чёрных шарика. У младшей – 2 белых и 1 чёрный. Младшая думает, что так как старшая сестра умная, то скорее всего выиграет. Как думаете вы?

А. выиграет старшая

Б. выиграет младшая

В. шансы на выигрыш равны

Г. ответ отличен от приведенных

5. Толя и Дима играют по тем же правилам, что и девочки из предыдущей задачи. У Толи 5 белых и 10 чёрных шариков. У Димы 10 белых и 20 чёрных шариков. У кого больше шансов на выигрыш?

А. У Толи

Б. У Димы

В. шансы равны

Г. ответ отличен от приведенных

6. В коробке лежат 4 чёрных, 3 зелёных и 2 синих карандаша. Какое наименьшее число карандашей нужно взять не глядя, чтобы в их числе обязательно было хотя бы по одному карандашу каждого цвета?

А. 8

Б. 6

В. 3

Г. ответ отличен от приведенных

  1. Организация начала и конца обычного урока.

Тема урока: «Условные вероятности»

На прошлом уроке изучали классическое определение вероятности(при этом разбиралось и геометрическое определение вероятности).

  • Актуализация знаний

        1. Куб со стороной 5 единиц составлен из 125 белых и чёрных единичных кубиков так, что любые два соседние (по граням) кубика имеют разный цвет. Угловые кубики чёрные. После того, как он рассыпался на единичные кубики, наугад взяли один. Какова вероятность того, что он: 1) чёрный; 2) белый?

2. Вонзаем иголку в картинку. Какова вероятность попадания иголки на заштрихованную часть?

Предлагается решить задачи самостоятельно. В это время учитель просматривает домашние задания учеников, отмечает тех, кто вовсе не брался за д/з. Те задачи, которые не получились у большинства, рассматриваются на доске.

Далее проводится разбор задач, данных в начале урока.

Цель урока: познакомить учащихся с понятием условной вероятности( с иллюстрацией прикладной направленности понятия); научить учащихся решать задачи, используя условную вероятность.

Мотивация. Часто произойдёт событие или нет, зависит от того: произойдет ли другое событие. Например, чтобы получить права водить машину, нужно сдать теоретический экзамен и вождение. То есть получение прав зависит от того: сдал ли ты оба экзамена или нет.

В жизни многие события зависят от других событий. Вероятностный аппарат таких событий важен в теории вероятности.

Затем на уроке разбирается несколько задач на эту тему.

Задание домашнего задания.

Решить задачи:

1. На некотором предприятии 96% продукции считается качественной. Из качественных продуктов в среднем 75% составляют продукты первого сорта, остальные – второго. Найдите вероятность того, что продукт, произведенный на этом предприятии окажется второсортным.

2. В апреле 20% дождливых дней. В следствии долгих наблюдений было замечено, что некоторая футбольная команда в ясный день побеждает с вероятностью 0,4, а в непогоду – с вероятностью 0,56.

  1. Найдите вероятность того, что в некоторый апрельский день будет дождь и футбольная команда в этот день выиграет.

  2. Какова вероятность того, что эта команда победит в наугад выбранный апрельский день.

  3. Известно, что команда выиграет матч в апреле. Какова вероятность того, что день был дождливым.

  1. Заключительный урок по теме.

Повторение и систематизация учебного материала

а) Повторение теоретического материала:

  • понятия: случайный опыт, частота события, статистический стойкий опыт, вероятность, достоверное событие, независимое событие, пересечение и объединение событий, случайная величина, закон распределения, сумма и произведение случайных величин, математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение;

  • теоремы: вероятность суммы, условная вероятность, свойства мат ожидания, свойства дисперсии.

Для повторения этого материала можно предложить следующую систему упражнений:

1. В семье три ребёнка. Считается, что вероятность рождения мальчика или девочки одинаковы. Найдите вероятность того, что все дети в этой семье мальчики.

2. Тест содержит для каждого задания 4 варианта ответа. Таким образом, если ученик знает правильный ответ, то для него вероятность правильного ответа равна 1; если он просто угадывает, то вероятность правильного ответа равна 0,25. Старательный ученик знает 90%, средний – 50%.

  1. Чему равна вероятность того, что старательный (средний) ученик ответил правильно на произвольно выбранный вопрос;

  2. Старательный (средний) ученик правильно ответит на вопрос. Какова вероятность того, что он угадал ответ.

3. Симметричную монету подбрасывают трижды. Будут ли независимы события: «при первом подбрасывании выпадет герб» и «выпадет не меньше, чем два герба».

4. Из чисел от 1 до 20 наугад выбирают одно число. 1) Составьте закон распределения количества делителей выбранного числа; 2) вычислить вероятность того, что число имеет не менее, чем 3 делителя.

5. Спортсмен делает три выстрела по мишени. Вероятность попадания каждого выстрела в цель равна 0,4; 0,3; 0,2. Найти среднее число промахов.

6. Вычислить дисперсию для данных из предыдущей задачи.

7. Дисперсия каждой из 9 попарно независимых случайных величин равна 36. Найти дисперсию среднего арифметического этих величин.

Подведение итогов изучения темы

В результате изучения темы были заложены основы работы со статистическим материалом, сформировано представление о вероятностном характере законов природы и общества, ученики научились строить простейшие вероятностные модели реальных ситуаций.

Учащиеся приобрели следующие навыки:

  • оценивать вероятность события по его относительной частоте и наоборот;

  • оценивать числовые характеристики случайных величин по выборочным характеристикам и наоборот;

  • вычислять вероятность события, используя её определение и простейшие свойства;

  • составлять законы распределения случайных величин в простейших случаях;

  • вычислять мат ожидание и дисперсию случайных величин по закону её распределения, а также пользуясь свойствами мат ожидания и дисперсии.

Заключительная беседа

Теория вероятности начала развиваться от азартных игр. Друг Блеза Паскаля, де Мере придумал такую разновидность игры в кости. Он ставил на то, что при 4 подбрасываниях кубика выпадет один раз 6. Паскаль посчитал вероятность выигрыша. Скоро у де Мере не было соперников в его игре. В начале ХІХ века П. Лаплас предложил классическое определение вероятности. Давно было замечено, что вероятность рождения мальчиков, допустим в некотором городе, приблизительно равна 0,511. Лаплас задумался, почему в Париже она была немного меньше этого числа.

Ответ нашёлся почти сразу. В таблицы рождаемости вписывались и дети, подброшенные в сиротские дома. Обычно крестьяне из окрестностей Парижа из-за бедности не могли прокормить ребёнка и подбрасывали его в сиротский приют. Но это были в основном девочки, так как мальчики нужны были для работы в поле.

Поэтому данные таблиц рождаемости расходились с установленным законом.

На развитие теории вероятности повлияли Ферма, Гюйгенс, Бернули, Байес.

П.Л.Чебышев, занимаясь теорией вероятности, получил ряд фундаментальных результатов. Огромный вклад внесли в теорию вероятности советские математики: Колмогоров, Кинчин, Берншиейн и Гнеденко.

Для заинтересовавшихся теорией вероятности можно предложить самостоятельно познакомиться с книгами.

1. А.Н.Колмогоров, И.Т.Журбенко, А.В.Прохоров. Введение в теорию вероятности.

2. Ф.Мостеллер, Р.Рурке, Дж.Томас. Вероятность.

3. Ф.Мостеллер. 50 задач по теории вероятности.

4. Гнеденко Б.В. Математика в современном мире.

  1. Организация самостоятельной работы.

1. Предлагается провести дома следующий опыт. Взять 10 монет, потрусить и бросить. Посчитать количество гербов и решек. Провести 10 таких опытов, результаты подбрасываний занести в таблицу.

№ опыта

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

всего

Герб

решка

Посчитать отношение выпавших гербов к количеству всех монет (100 – 10 опытов по 10 монет) и то же для решек. Убедиться, что это числа, близкие к 0,5.

2. Тема «Условные вероятности».

Ящик содержит 10 деталей, семь из них выкрашены. Работник наугад по одной вынимает две детали. Найдите вероятность того, что

  1. вторая деталь покрашена, если первая покрашена;

  2. вторая покрашена, если первая не покрашена;

  3. обе детали не покрашены;

  4. обе детали покрашены;

  5. вторая покрашена;

  6. первая покрашена, если вторая появилась покрашенной.

3. Рассмотрим набор «домино»:

Первая кость домино означает независимые события, вторая – несовместные события, а, например, третья – независимые и несовместные. Привести примеры пар событий для каждой кости домино (если они существуют).

4. В данной теме большинство задач имеют один способ решения. Задачи, имеющие один способ решения – это задачи, связанные с комбинаторикой, например:

Найти вероятность того, что у наугад взятого двузначного числа цифры будут стоять в порядке убывания.

Решение. Число благоприятных исходов можно найти простым перебором. А всего двузначных чисел 102 – 10=90 штук.

Из множества А = выберем два числа (различные). Это можно сделать способом, их упорядочим в порядке убывания – это будут все двузначные числа, цифры которых стоят в порядке убывания, т.е. Р=.

  1. Для самостоятельного изучения можно дать понятие независимых в совокупности для произвольного числа событий (независимость двух событий рассматривается в классе).

6. Анализ контрольной работы.

По результатам контрольной работы составлена таблица, отражающая выполнение каждого задания контрольной работы.

ученик

1

А

+

+

+

+

+

+

+

+

+

2

Б

+

+

+

+

+

+

+

3

В

+

+

+

+

+

-

-

-

-

4

Г

+

+

-

+

+

-

+

+

-

5

Д

+

+

+

+

+

+

+

+

-

6

Е

7

Ж

8

З

9

И

10

К

11

Л

12

М

13

Н

14

О

15

П

17

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Мовленнєва майстерність педагога Нової української школи. Вербальний і невербальний імідж»
Вікторія Вікторівна Сидоренко
36 годин
590 грн