Тема уроку: «Логарифми та їх властивості»

Кількість навчальних годин : 2 години

Курс : 1

Відділення: «Лікувальна справа»

1.Актуальність теми:
Логарифми – одна із основних тем в програмі з математики. У процесі вивчення цього розділу студенти засвоять поняття логарифма числа, ознайомляться з властивостями логарифмів, навчаться логарифмувати і потенціювати вирази. Логарифми часто використовують при моделюванні реальних процесів і явищ. Наприклад деякі практичні застосування логарифмів :

Фізика – інтенсивність звуку (децибели)

Астрономія – шкала яскравості зірок

Хімія – активність водневих іонів

Сейсмологія – шкала Ріхтера

Теорія музики – нотна шкала, по відношенню до частот нотних звуків

Медицина – визначення кислотності шлункового соку, формула для визначення об’єму легень людини в залежності від віку.

Логарифми в природі (логарифмічна спіраль) та ін.

Логарифми потрібні майбутнім медикам для подальшого використання набутих знань, вмінь і навичок при вивченні таких дисциплін як фізика, хімія, біологія, що є необхідними для подальшого освоєння клінічних дисциплін.

2. Навчальні цілі заняття:

Знати:

1Означення логарифма

2Властивості логарифмів

3Використання логарифмів при моделюванні реальних процесів і явищ

Вміти:

1Обчислювати логарифми.

2Знаходити невідоме за його логарифмом.

3Логарифмувати та потенціювати вирази.

4Застосовувати логарифм для опису реальних процесів.

3 Виховні цілі:

1Формувати навички раціонального використання кожної робочої хвилини.

2Розвивати математичну мову студентів, кмітливість, увагу, логічне мислення.

3 Сприяти розвитку інтересу до математики.

4Процес логарифмування і потенціювання сприяє розвитку таких розумових операцій, як аналіз, узагальнення, підвищує математичну культуру студентів.

5 Виховувати спостережливість, акуратність,точність виконання дій, розуміння значимості алгебри серед інших наук.

Формування компетентностей:

Предметна компетентність: сформулювати поняття логарифма числа, десяткового логарифма, натурального логарифма; домогтися засвоєння властивостей логарифмів; сформувати вміння розв’язувати завдання, що передбачають застосування означення та властивостей логарифмів;

Ключові компетентності:

1.Спілкування державною мовою – доречно та коректно вживати в мовленні математичну термінологію, поповнювати свій словниковий запас, чітко, лаконічно та зрозуміло формулювати думку.

2.Математична компетентність – оперувати числовою інформацією.

3.Уміння вчитися впродовж життя – усвідомлювати цінність нових знань і вмінь.

4.Соціальна та громадянська компетентності – співпрацювати в команді, виділяти та виконувати власну роль у командній роботі, Оцінювати аргументи та змінювати думку на основі доказів.

5.Ініціативність і підприємливість – генерувати нові ідеї, ухвалювати оптимальні рішення.

Тип уроку: засвоєння нових знань і вмінь.

Методи проведення:

Словесний бесіда з елементами пояснення

Наочний таблиця «Логарифми та їх властивості», супроводжуюча презентація, роздавальний матеріал.

Практичний вправи «Закінчи речення», , «вільний мікрофон», «Знайди помилку»,гра «Влучний стрылець», робота з опорним конспектом, виконання вправ з підручника, самостійна робота.

Обладнання: мультимедійний проектор, екран, підручники, таблиця «Логарифми та їх властивості», дидактичні матеріали: вправи «Закінчи речення», опорний конспект, таблиця «Степені чисел від 2 до 10», текст самостійної роботи.

Структурно-логічна схема взаємозв’язків основних понять і способів діяльності які розглядаються в темі: «Показникова і логарифмічна функції»

І. Підготовчий етап

1. Організаційна частина.

Формування мети і завдань уроку.

2. Мотивація навчальної діяльності.

Математика – це всеосяжна наука, без знання якої неможливо ні пізнати оточуючий нас світ, ні забезпечити науково – технічний прогрес. Одним із понять математики, яке розкриває красу природи, її загадки, досягнення науки і техніки, мистецтва є логарифмічна функція.

3. Інформація для студентів :

• Орієнтовний план вивчення теми;

• Кількість навчальних годин;

• Приблизний зміст матеріалу;

• Основні вимоги до знань і вмінь студентів;

• Терміни проведення контрольної роботи;

• Орієнтовний зміст завдань, що будуть внесені на контрольну роботу.

4. Актуалізація опорних знань.

Почнемо із завдання на увагу

Прочитайте вислів М.Амосова: «У більшості хвороб винна не природа, не суспільство, а сама людина. Найчастіше вона хворіє через лінощі й жадобу. Щоб бути здоровим, потрібні власні зусилля, постійні й значні». Полічіть частоту використання у цьому вислові літери «і».

Виконання усних вправ («вільний мікрофон»)

1) Подайте у вигляді степеня з основою 2:

4; 32; 128;

Відповідь:

2) Обчисліть:

Відповідь:

3) До якого степеня потрібно піднести : а) число 2, щоб дістати 8; б) число , щоб дістати в) число 1000, щоб дістати 0,1; г) число 3, щоб дістати

д) число щоб дістати 49; е) число 32, щоб дістати 2?

Відповідь: б)2;в) г)-2;д)4;е)

ІІ. Основний етап

1. Вивчення нового матеріалу.

План вивчення нового матеріалу:

1.Означення логарифма.

2.Десятковий та натуральний логарифм.

3.Історія виникнення логарифмів (презентація).

4.Властивості логарифмів.

5. Застосування логарифмів (презентація).

Слово вчителя

А зараз повернімось до теми сьогоднішнього уроку: «Логарифм числа та його властивості». Я сподіваюся, що цей урок пройде цікаво, з великою користю для всіх. Дуже хочу, щоб ті, хто ще байдужий до цариці всіх наук, з нашого уроку пішов із глибоким переконанням: Математика - цікавий і дуже потрібний предмет.

Алгебру називають теорією розв’язування рівнянь. На сьогоднішньому уроці ми введемо нове поняття – логарифм числа, яке допоможе розв’язувати задачі, що передбачають використання властивостей логарифмів.

Для успішного розв’язування вправ на уроці ми повинні знати:

• Означення логарифма числа.

• Означення десяткового і натурального логарифма.

• Основну логарифмічну тотожність.

• Властивості логарифмів.

Розглянемо рівняння , де а і N – деякі числа, причому і . Якщо , то це рівняння не має коренів, бо значення показникової функції додатні при будь-якому х.

Для рівняння має корінь, і до того ж єдиний. Справді, областю значень показникової функції при є множина додатних чисел. Крім того, кожне своє значення показникова функція набуває лише при одному значенні аргументу( отже, цей корінь єдиний).

Означення: Логарифмом числа за основою (

називається показник степеня х, до якого треба піднести , щоб дістати число .

Наприклад:

1)

2)

3)

Слово «логарифм» у математичних записах замінюють символом . Запис означає, що . Запис читають так: логарифм числа 16 зо основою 2.

Вирази та не мають смислу, бо рівняння і не мають розв’язків.

Вираз , де і , має смисл лише при

Логарифмічна рівність і показниковa рівність виражають одне й те саме співвідношення між числами .

За цими рівностями можна знайти одне з трьох чисел, що входять до них, якщо задано два інші.

Відповідно до цього можна розв’язати три задачі:

1) Знайти число N за даним його логарифмом b і його оновою а.

2) Знайти основу а за даним числом N і його логарифмом b.

3) Знайти логарифм b даного числа N за даною основою а.

У математиці широко використовують десяткові логарифми, це логарифми за основою 10. Для запису таких логарифмів застосовують символ ,замість пишуть .

Наприклад: 1) ;

2)

3)

Натуральні логарифми. В математичних дослідженнях використовують логарифми за основою, вираженою ірраціональним числом, наближене значення якого дорівнює 2,718281828459045…або ≈ 2,718. Леонард Ейлер запропонував позначити це число літерою е. Його називають неперовим числом на честь шотландського математика Джона Непера(1550-1617).

Логарифми з основою е називають натуральними, або неперовими, і позначають . Тут основу е не пишуть, а лише мають на увазі. Отже,

Наприклад: 1)

2)

3)

Натуральний логарифм приблизно в 2,3 рази більший за десятковий логарифм того самого числа.

Основна логарифмічна тотожність. Розглянемо показникову рівність

(1)

За означенням логарифма,

(2)

Підставимо цей вираз у показникову рівність (1). Дістанемо:

Ця рівність називається основна логарифмічна тотожність. Вона є коротким записом означення логарифма.

Наприклад: 1)

2)

3)

Приклад 1. Записати у вигляді логарифмічних рівностей:

а) б) в)

Розв’язання. Застосовуючи означення логарифма даного числа за даною основою, маємо:

а) б) в)

Приклад 2. За означенням логарифма, визначити, яке число має логарифм 3 за основою 7.

Розв’язання. За умовою звідси

Приклад 3. Знайти основу х, якщо

Розв’язання. Маємо:

Приклад 4. Знайти логарифм числа за основою

Розв’язання. Маємо:

Операцію знаходження логарифмів чисел називають логарифмуванням. Операція логарифмування обернена операції піднесення до степеня при фіксованій основі.

Широкі застосування логарифмів ґрунтуються на їхніх властивостях.

Проблема: А чи можна без таблиці логарифмів швидко і точно обчислити значення виразів : - ; + ?

Основні властивості логарифмів

Властивості виражаються в ряді теорем, на яких ґрунтується практичне застосування логарифмів.

Теорема 1. Логарифм добутку двох додатних чисел дорівнює сумі логарифмів цих чисел, тобто

де

Доведення. Візьмемо два додатні числа х і у у вигляді степеня з основою а ( . За основною логарифмічною тотожністю, маємо: і .

Знайдемо добуток цих чисел за правилом множення степенів з однаковими основами й запишемо результат за означенням логарифма:

Маємо:

Аналогічно можна довести й інші властивості логарифмів для чисел .

Теорема 2. Логарифм частки двох додатних чисел дорівнює різниці логарифмів цих чисел, тобто

Теорема 3. Логарифм степеня додатного числа дорівнює показнику степеня, помноженому на логарифм основи цього степеня, тобто

Теорема 4. Логарифм кореня з додатного числа дорівнює логарифму підкореневого виразу, поділеному на показник кореня, тобто

Теорема 5. Якщо логарифми двох додатних чисел за тією самою основою рівні, то й самі числа рівні. І навпаки, якщо два додатні числа рівні, то і їх логарифми за тією самою основою рівні, тобто

До основних властивостей логарифмів належать ще й такі.

6.

7.

Основні властивості логарифмів широко використовуються під час перетворення виразів, що містять логарифми. Окремим видом таких перетворень є логарифмування виразів.

Прологарифмувати одночлен означає виразити його логарифм через логарифми додатних чисел (позначених цифрами і літерами), що входять до його складу.

Користуючись теоремами про логарифм добутку, частки, степеня і кореня, можна прологарифмувати будь-який одночлен. Під час логарифмування основою будемо вважати число 10.

Приклад 5. Прологарифмувати вирази:

а) б)

Розв’язання. а) даний вираз є добутком, а тому, за теоремою 1:

б) за теоремами 1 і 3:

Потенціювання. Перетворення, за допомогою якого за даним логарифмом числа (виразу) визначають саме число (вираз), називають потенціюванням. Це перетворення є оберненим до логарифмування.

Приклад 6. Пропотенціювати вираз, тобто знайти х за його логарифмом.

Розв’язання. Скористаємося теоремами 3 і 2:

Формула переходу від однієї основи логарифма до іншої

Наприклад: 1)

2)

3)

Деякі важливі тотожності, що містять логарифми

1)

2)

3)

Наприклад:

1) Спростити вираз

Розв’язання:

2) Знайти значення виразу

Розв’язання:

3) Подати у вигляді логарифма з основою 7.

Розв’язання:

1. Логарифм числа
Означення	Приклади
Логарифмом додатного числа b (b > 0) за основою а (а >0, a ≠1) називається показник с, до якого треба піднести а,  щоб одержати b. Позначення: loga b;    loga b=с, ас =b Дія знаходження логарифма – логарифмування.	log4 16 = 2, оскільки 42 = 16 log7 =  , оскільки
Десятковий логарифм – це логарифм за основою 10. Позначення: log10b = lg b	lg 1000 = 3, оскільки                                  103 = 1000
Натуральний логарифм – це логарифм за основою е (е ≈ 2,7182818). Позначення: logеb = ln b	ln  =-2, оскільки е-2 =  .
2. Основна логарифмічна тотожність
, а > 0, a ≠ 1, b > 0	1)               2)
3. Властивості логарифмів і формули логарифмування
1) loga 1 = 0,  а > 0, a ≠ 1	Логарифм одиниці за будь-якою основою дорівнює нулю.	log7 1 = 0 , 70 = 1
2) loga а = 1, а > 0, a ≠ 1	Логарифм будь-якого числа за такою ж  основою дорівнює одиниці.	log8 8 = 1, 81 = 8
loga (ху)= loga х + loga у  (а > 0, a ≠ 1,  x > 0, y > 0)	Логарифм добутку додатних чисел дорівнює сумі логарифмів множників.	log3 2 + log3 4,5 = log3 (2·4,5)= = log39 = 2, 32 = 9
4)   , (а > 0, a ≠ 1,  x > 0, y > 0)	Логарифм частки при діленні  додатних чисел дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника.
5)  , (а > 0, a ≠ 1,  x > 0)	Логарифм степені додатного числа дорівнює добутку показника степеню на логарифм основи.
4. Формула переходу до іншої основи
,  a, b, c – додатні, a ≠ 1, c ≠1	1)          2)
Наслідки
(а > 0, a ≠ 1,  b > 0, b ≠ 1)	(а > 0, a ≠ 1,  b > 0)	(а > 0, a ≠ 1,  b > 0)	(а > 0, a ≠ 1)

Опорний конспект

2 Осмислення нового матеріалу.

1. Усні завдання

№96

№97

№99

 

2)Гра «Влучні стрільці»

Повідомляємо студентам, що на цьому уроці вони – «влучні стрільці» - будуть «запускати стріли» (проводити стрілки) від прикладу до відповіді. Хто правильно і швидко знайде відповідь, яка відповідає певному прикладу, той стає найкращим стрільцем. Завдання виконують за картками.

Гра «Влучні стрільці».

1. Логарифмом числа b за :::::::::. а називається ::::: , в яку потрібно :::::. основу а, щоб отримати число b.

2. Якщо основа а =: .., то такий логарифм називається десятковим і позначається lg.

3. В означенні логарифма logab = x , число а називається :::

4. В означенні логарифма logab = x , число b називається ::: виразом

5. Різниця логарифмів дорівнює логарифму ::::.

6. Сума логарифмів дорівнює логарифму ::::.

7. Логарифм добутку чисел дорівнює :::: логарифмів від цих чисел.

8. Логарифм частки чисел дорівнює :::: логарифмів від цих чисел.

9. Логарифм з основою 10 називається :::

10. Операцію знаходження логарифма називають ::::

11. Основа логарифма має бути :::: числом

12. Підлогарифмичний вираз має бути :::: числом

13. Логарифм з основою 2,718… називається :::

14. Знаходження числа по відомому значенню його логарифмназивається:::

ІІІ.Заключний етап

  Самостійна робота на два варіанта. Два студента виконують роботу за закритою дошкою, взаємоперевірка за рішеннями на дошці

I варіант	II варіант
Запишіть за допомогою логарифмів співвідношення
а)	б)	а)	б)
Знайти логарифм чисел за основою 2
а)   =	б)  =	а)   =	б)    =
3. Знайти x
4. Обчислити
	_

 

Завдання на повторення шкільного курсу математики

Задача

Відстань від Кременчука до Горішніх Плавнів 22 км. Автобус подолав цю відстань за 25 хв. З якою швидкістю рухався автобус?

Розв’язання.
Щоб знайти швидкість, треба відстань поділити на час. Залежність між швидкістю V, відстанню S і часом руху t у математиці виражають формулою:

V = S : t

25 хв = год = год

22 км : год = 52,8 км/год

Відповідь: 52,8 км/год.

Підведення підсумків заняття

На сьогоднішньому уроці ви ще раз переконались , що математика – всеосяжна наука , без знання якої неможливо пізнати оточуючий нас світ, ні забезпечити науково-технічний прогрес. Як казав великий Ейншейн: «Природа- це реалізація найпростіших математичних ідей».

Домашнє завдання

Григорій Бевз, Валентина Бевз «Математика. Алгебра і початки аналізу та геометрія» 11клас ст.22 п3, ст26 №106, №110, №122.