СТАРОВИННІ ЗАДАЧІ

У класичному китайському трактаті «Математика в дев'яти книгах» (II ст. до н. е.) Остання книга називається «Гоу-гу» і присвячена завданням, що розв'язуються за допомогою теореми Піфагора.

М аємо водойму зі стороною в 1 чжан (10 чі). У центрі його росте очерет, який виступає над водою на 1 чи. Якщо потягнути очерет до берега, то він якраз торкнеться його. Питається: яка глибина води і яка довжина очерету?

Задача Л.Пізанського (ХІІ-ХІІІ ст.)

Дві вежі, одна з яких заввишки 40 футів, а друга – 30 футів, розташовані на відстані 50 футів одна від одної. До криниці, що знаходиться між ними, одночасно з обох веж злетіли по пташці. Рухаючись з однаковою швидкістю, вони прилетіли до криниці одночасно. Знайти відстань від криниці до найближчої вежі (у футах).

Задачі Бхаскари.
(Бхбскара (1114 – 1185) — індійський математик і астроном.)

Задача 1.

Н ад озером тихим,

Висотою з півфута підіймалася лотоса квітка,

Яка росла одиноко. Та вітер скаженим поривом

Відніс її вбік.

І не стало видно квітки над водою,

Знайшов же її тільки рибалка ранньою весною

В двох футах від місця, де вона росла.

І так, пропоную я вам запитання:

Яка в цьому місці на озері води глибина?

Задача 2.

Н а дві зграї розділившись,

Розважались в гаї мавпи.

Одна восьма їх в квадраті

Гучно разом забавлялись.

З криком радісним дванадцять

На ліанах колихали.

Разом скільки, ти дізнайся,

Мавп було у тому гаї?

З адача 3.

На березі річки тополя росла

І вітру порив її стовбур зламав.

Тополя упала і стовбур її

Кут прямий з течією ріки утворив.

Пам’ятай, в тому місці ріка

Чотири фути була шириною.

Верхівка схилилась до краю,

Залишивши три фути всього над водою.

Прошу, тепер швидше скажи мені ти:

Тополя якої була висоти?

Задача про сім бабусь .

Бабусі направляються в Рим , кожна має 7 мулів , кожен мул тягне 7 мішків , в кожному мішку знаходиться 7 хлібів , у кожного хліба лежить 7 ножів , кожен ніж нарізуватиме 7 шматків хліба.Яке одно загальне число усього перерахованого ?

Розв’язання:

7, 49, 343, 2401, 16807, 117649 - це геометрична прогресія b₁= 7 і знаменник прогресії q=7.

b_n= b₁ q ^n-1

b₆= 7 ·7^6-1= 7 ·7⁵= 7⁶= 117649

S_n

S₆ = =

=7 ·117648:6=137256.

Відповідь: 137256.

Задача про сім старців.

У кожного старця по сім милиць ; на кожній милиці по сім сучків ; на кожному сучку по сім кошелей ; в кожному кошелю по сім пирогів ; в кожному пирозі по сім горобців . Скільки всього виробів ?

Задача.

Кожен з 7 людей має 7 кішок. Кожна кішка з'їдає по 7 мишок , кожна мишка за одне літо може знищити 7 ячмінних колосків , а із зерен одного колоска може вирости 7 жмень ячмінного зерна. Скільки жмень зерна щорічно рятується завдяки кішкам ?

Задача : Легенда про винахід шахів.

Шахову гру винайшли в Індії. Ознайомившись з нею, індійський цар Шерам, захоплений дотепністю і різноманітністю можливих в ній ситуацій, покликав до себе її винахідника, ученого Сету, і сказав йому:

"Я хочу гідно нагородити тебе, Сета за прекрасну гру, яку ти придумав. Я досить багатий, щоб виконати будь-яке твоє бажання."

"Володарю, - відповів Сета, - накажи видати мені за першу клітинку шахівниці одну пшеничну зернину, за другу - 2 зернини, за третю - 4, і так за кожну клітинку вдвічі більше, ніж за попередню".

"Ти одержиш свої зерна. Але знай, що твоє прохання не варте моєї щедрості. Іди. Слуги мої винесуть тобі твій мішок із пшеницею".

На другий день придворні математики з'явились до царя.

"Ми ретельно обчислили, - говорили вони йому, - усю кількість зерна, що бажає одержати Сета. Число таке велике, що зерен не вистачить ні в яких коморах, навіть цілого царства. Не знайдеться такої кількості зерен і на всьому просторі Землі. І якщо ти обов'язково хочеш видати нагороду, то накажи перетворити всі царства в поля, висушити всі річки та озера, розчинити криги та сніги. Увесь цей простір засій пшеницею й усе, що виросте на ньому за 5 років, накажи віддати Сеті. Тоді він одержить свою винагороду."

Зі здивуванням слухав цар Ширам слова вчених. "Напишіть же мені це дивовижне число"- сказав він.

Розв'язання:

К ількість зернин, про які йдеться в задачі, є сумою 64 членів геометричної прогресії, у якої ,

=18446744073709551615, що приблизно становить 13,8 млрд. 40-тонних вагонів.

Якщо таку кількість зернин рівномірно розсипати по всій земній поверхні, то утвориться шар пшениці товщиною 9-мм. )

Задача Срідхари.

П'ята частина бджолиного рою сидить на квітці Держава Кадамба, одна третина на квітках сіліндха. Потроєна різниця двох останніх чисел попрямувала до квітів кутаючи. І залишилася ще одна бджола, літаюча взад і вперед, між ароматним жасмином і панданусом. Скажи мені скільки всіх бджіл?

Р озв'язання:

Складаємо рівняння: 

Отже, бджіл було всього 15

З АДАЧІ З ПІДРУЧНИКА "АРИФМЕТИКА" ЛЕОНТІЯ МАГНИЦЬКОГО (18 СТ.).

Задача 1.

Купець мав 14 чарок срібних , причому ваги чарок ростуть по арифметичній прогресії з різницею +4 . Остання чарка важить 59 латів . Визначити , скільки важать всі чарки .

Задача 2 .

Садівник продав першому покупцеві половину всіх яблук і ще пів - яблука , другом покупцеві - половину залишку і ще пів- яблука; третьому - половину залишку і ще пів- яблука і так далі. Сьомому покупцеві він продав половину залишку яблук і ще пів - яблука; після цього яблук у нього не залишилося. Скільки яблук було у садівника ?

Задача 3.

Дехто продав коня за 156 рублів. Та покупець, придбавши коня, передумав і повернув коня, сказавши «Не вигідно». Тоді продавець запропонував іншу умову:

«Якщо по-твоєму ціна  коня висока, то купи її підковні цвяхи, коня отримаєш безкоштовно. Цвяхів в кожній підкові 6. За перший цвях дай мені 1/4 коп., за другий-1/2коп., за третій-1коп., і т.д.“

Покупець, спокусився низькою ціною, бажаючи отримати коня безкоштовно, прийняв умови продавця, розраховуючи, що йому прийдеться заплатити не більше 10 рублів.

Розв’язання:

Складемо послідовність чисел

Дана послідовність є геометричною прогресією із знаменником q =2,

n = 24, (4 підкови по 6 цвяхів)

Підрахуємо суму членів прогресії

Купець проторгувався.

Задача

"Трапилося деякому чоловікові до стіни сходи прибраті, стіни ж тоя висота є 117 стоп. І оголить сходи довготи 125 стоп. І ведати хоче, колико стоп сіючи сходи нижній кінець від стіни отстояті имать. "

Задача

Прийшов селянин на базар і приніс козуб яєць, торговці його запитали: "Чи багато у тебе в тому козубі яєць?", Селянин мовив їм так: "Я все не пам'ятаю на перелік, скільки в тому козубі яєць, тільки пам'ятаю: перекладав я ті яйця в козуб по 2 яйця, то одне зайве залишилося на землі; і як клав у козуб по 3 яйця, то одне яйце залишилося; і як клав по 4 яица, то одне же яйце залишилося; і як клав по 5 яєць , то одне яйце залишилося; і як їх клав по 6 яєць, то одне ж яйце залишилося; і як їх клав по 7 яєць, то жодного не залишилося, порахуй мені, скільки в тому

козубі їх було "?

Розв’язання.

Задача зводиться до знаходження такого числа, яке ділиться без остачі на 7, а при діленні на 2,3,4,5,6 дає в залишку 1, якщо шукане число зменшити на 1, то вийде число, що ділиться на 2,3,4 , 5,6 без залишку. Найменше число, яке ділиться без залишку на числа 2,3,4,5,6 є 60, потрібно значить знайти таке число, яке ділилося б на 7 без остачі і було б водночас на 1 більше числа ,що ділиться на 60, розглянемо числа 61121181 , 241, 301 і так далі, Перше з написаних чисел, що ділиться на 7, є 301, крім цього числа, умовою задачі задовольняють 721, 1141, 1561 і так далі, ряд чисел, що задовольняють умові задачі, нескінченний.

Відповідь: Кожне з них виходить додатком до попереднього 420 – наймешого числа, що ділиться на 4,5,6,7.

Задача

У п'ятьох селян - Івана, Петра, Якова, Михайла і Герасима - було 10 овець, не могли вони знайти пастуха, щоб пасти овець, і каже Іван іншим: «Будемо пасти овець по черзі - по скільки днів, скільки кожен з нас має овець ". Скільки днів має пасти кожен селянин, якщо відомо, що в Івана в два рази менше овець, ніж у Петра, У Якова в два рази менше овець, ніж у Івана, Михайло має овець в два рази більше, ніж Яків, а Герасим

вчетверо менше, ніж Петро?

Розв’язання.

З умови випливає, що і у Івана та у Михайла вдвічі більше овець, ніж у Якова, у Петра в двічі більше, ніж у Івана, значить, вчетверо більше, ніж у Якова, але тоді у Герасима стільки ж овець, скільки має їх Яків, загальне число овець в (2 + 4 + 1 + 2 + 1) = 10 разів більше, ніж число овець у Якова, отже, у Якова 1 вівця, у Івана і у Михайла по 2 вівці, у Петра 4 і у Герасима 1 вівця.

Відповідь: У Якова 1 вівця, у Івана і у Михайла по 2 вівці, у Петра 4 і у Герасима 1 вівця.