УРОК № 2

Тема уроку. Арифметична прогресія, її властивості. Формула n – го члена арифметичної прогресії

Мета уроку: 1) домогтися засвоєння учнями: означення арифметичної прогресії, відповідної термінології (різниця арифметичної прогресії); рекурентної формули та основних властивостей арифметичної прогресії (включаючи характеристичну властивість). Виробити вміння: відтворювати зміст вивчених понять, а також використовувати їх для розв'язування задач, що передбачають виділення арифметичної прогресії серед інших числових послідовностей, використання рекурентної формули арифметичної прогресії, а також використання її властивостей;

2) розвивання логічного мислення;

3) виховування культури поведінки

Тип уроку: засвоєння знань, вироблення вмінь.

Хід уроку

I. Організаційний етап

II. Перевірка домашнього завдання

III. Формулювання мети і завдань уроку.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів

1. Що таке числова послідовність?

2. Що називають членами числової послідовності?

3. Які визнаєте способи задання числових послідовностей?

4. Наведіть приклади задання числової послідовності формулою її загального члена

V. Пояснення нового матеріалу

Арифметична прогресія (a_n) — числова послідовність, у якій кожний наступний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додається те саме число. Це число називають різницею арифметичної прогресії.

Приклад. (а_n): 1; 3; 5; 7; 9 — арифметична прогресія.

3 – 1 = 5 – 3 = 7 – 5 = 9 – 7 = 2; 2 — різниця арифметичної прогресії.

Рекурентна формула арифметичної прогресії: a_n+1 = а_n + d,

d = a_n+1 – а_n - різниця арифметичної прогресії.

Якщо d > 0, то прогресія є зростаючою (20; 24; 28; …)

Якщо d < 0, то прогресія є спадною (11; 8; 5; …)

Якщо d = 0, то прогресія є сталою (2; 2; 2; …)

Нехай маємо арифметичну прогресію: -12; -8; -4; 0; 4; … . d = 4. Продовжуючи додавати це число до кожного нового члена, можемо обчислити значення її члена, який стоїть на будь – якому місці. Однак цей шлях громіздкий і не досить раціональний.

Спробуємо відшукати простіший спосіб розв’язання цієї і подібних задач.

З означення арифметичної прогресії випливає:

а₂ = а₁ + d,

а₃ = а₂ + d = (а₁ + d) + d = а₁ + 2d,

а₄ = а₃ + d = (а₁ + 2d) + d = а₁ + 3d і т.д.

a_n = a₁ + (n - 1)d – формула загального члена арифметичної прогресії

де a_n — n-й член арифметичної прогресії;

а₁ — перший член арифметичної прогресії;

d — різниця арифметичної прогресії;

n — номер члена арифметичної прогресії.

Приклад. Дано: (а_n) — арифметична прогресія, (а_n) : 7,8; 8,9; 10; ....

Знайти: а₉

Розв'язання

а₁ = 7,8; a₂ = 8,9;a₃ = 10: d = a₃ – a₂ = 10 – 8,9 = 1,1.

a_n = a₁ + d(n – 1).

a₉ = 7,8 + 1,1(9 – 1) = 7,8 + 8,8 = 16,6.

Відповідь: а₉ = 16,6.

Властивості арифметичної прогресії

1. , де п >1

a_n — n-й член арифметичної прогресії, є середнім арифметичним двох сусідніх за ним членів.

2. Якщо (а_n) — арифметична прогресія (скінченна), то:

Теорема Гаусса:Сума двох членів скінченної арифметичної прогресії, які рівновіддалені від її кінців дорівнює сумі крайніх членів цієї прогресії.

3. Теорема*. Будь-яка арифметична прогресія (а_n) може бути задана формулою a_n = kn + b, де k і b — деякі числа; і навпаки, якщо послідовність (а_n) задана формулою a_n = kn + b, де k і b — деякі числа, то ця послідовність є арифметичною прогресією.

VI. Розв’язування задач і вправ

№471(усно), 473(а, г) (усно), 475 (а, в), 476(а, в), 477(а, в)

VII. Підсумки уроку

Контрольні запитання

1. Що називається арифметичною прогресією? Наведіть приклади.

2. Як знайти різницю арифметичної прогресії?

3. Сформулюйте властивості арифметичної прогресії.

VIII. Домашнє завдання

П.10.2 вивчити, п. 10.1 повторити, №473(б, в), 475(б, г), 476(б, г), 477(б, г)