Урок 55

Тема уроку: Мода і медіана. Середні значення.

Мета уроку: Ознайомити учнів з модою, медіаною і середніми значеннями, якими оперує статистика: середнє арифметичне, середнє квадратичне.

І. Перевірка домашнього завдання.

1. Фронтальна бесіда з класом за запитаннями №№ 15, 9 із “Запитання і завдання для повторення” розділу XIV.

2. Розв’язування вправи №4 із розділу XIV підручника.

ІІ. Сприймання і усвідомлення центральних тенденцій вибірки.

Вибірка характеризується центральними тенденціями: середнім значенням, модою і медіаною. Дамо означення кожній з них. Середнім значенням вибірки називається середнє арифметичне всіх її значень:

, або

( – знак суми – “сигма” велика).

Мода вибірки – те її значення, яке трапляється найчастіше. Позначається Мо. Медіана вибірки – це число, яке “поділяє” “навпіл” упорядковану сукупність усіх значень вибірки, тобто середня величина змінюваної ознаки, яка міститься в середині ряду, розміщеного в порядку зростання або спадання ознаки. Позначається Ме.

Приклад 1. Нехай дано вибірку 2, 3 , 4, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 8. Знайдемо центральні тенденції вибірки.

Розв’язання

Мода даної вибірки Мо = 6, бо число 6 зустрічається найчастіше.

Середнє значення вибірки:

.

Медіана даної вибірки Ме = 6, бо вибірка має парне число значень і її медіана дорівнює півсумі двох її середніх значень:

.

Приклад 2. Знайти центральні тенденції вибірки: 12, 17, 11, 13, 14, 15, 15, 16, 13, 13.

Розв’язання

Упорядкуємо дану вибірку:

11, 12, 13, 13, 13, 14, 15, 15, 16, 17.

Мода даної вибірки: Мо = 13.

Середнє значення:

.

Медіана даної вибірки: .

Виконання вправ

У результаті статистичних досліджень отримані певні числові значення:

а) 5, 8, 6, 6, 2, 7, 7, 7, 4, 4, 1;

б) 5, 5, 6, 6, 7, 7;

в) 1, 2, 3, 4, 5;

г) 1, 2, 2, 3, 4, 4.

Знайдіть центральні тенденції цих вибірок.

Розглянемо вибірку 0, 0, 1, 1, 3, 3, 3, 5; n = 8, =2.

Знайдемо відхилення х_і- кожного значення х_і від середнього значення . Результати занесемо в таблицю.

Значення х	Середнє арифметичне	Відхилення хі-
0 0 1 1 3 3 3 5	2 2 2 2 2 2 2 2	-2 -2 -1 -1 1 1 1 3

Сума всіх відхилень дорівнює 0.

Для будь-якої вибірки , тому в статистиці користуються іншим показником – середнім квадратичним відхиленням, який знаходиться так: усі відхилення підносяться до квадрата; знаходять середнє арифметичне цих квадратів, із знайденого середнього арифметичного добувають квадратний корінь. Середнє квадратичне відхилення позначається грецькою буквою (“сигма” мала):

.

² в статистиці називають дисперсією.

Приклад 3. Знайдемо середнє квадратичне відхилення значень вибірки: 5, 8, 10, 12, 17, 20.

Розв’язання

Знаходження середнього квадратичного подано в таблиці.

Значення х	Середнє арифметичне	Відхилення хі-	Квадрат відхилення (хі- )2	Квадратичне відхилення
5 8 10 12 17 20		-7 -4 -2 0 5 8	49 16 4 0 25 64

Якщо вибірку задано статистичним рядом, то

, або ;

або .

Приклад 4. Для статистичного ряду

хі	-1	0	3	5	8	Знайти та .
ni	2	1	4	2	1

Розв’язання

Обсяг вибірки n = 10.

Середнє значення вибірки: .

Середнє квадратичне відхилення значень:

= = = .

Відповідь: =2,8; 2,71.

Виконання вправ

1. Для вибірки, заданої варіаційним рядом –20, -20, 0, 0, 0, 0, 0, 10, 10, 10 знайдіть моду, медіану, середнє значення, середнє квадратичне відхилення.

2. Для вибірки, заданої статистичним рядом

хі	125	127	130	140	знайти і .
ni	2	4	3	1

ІІІ. Підведення підсумків уроку.

IV. Домашнє завдання.

Розділ XIV § 4-5; Запитання і завдання для повторення розділу XIV №№ 10-14. Вправи №№ 5-6.