Тема уроку. Об'єм зрізаної піраміди. Об'єми подібних тіл.

Мета уроку: виведення формули для об'єму зрізаної піраміди; відношення об'ємів подібних тіл; формування умінь знаходити об'єми зрізаних пірамід.

Обладнання: моделі зрізаних пірамід.


І. Перевірка домашнього завдання

1 . Перевірити правильність виконання домашнього завдання можна за записами розв'язання задач № 33 (2), 35, 38, зробленими на дошці до початку уроку.

Розв'язання задачі № 33(2)

Нехай SABCD — правильна піраміда (рис. 157); АВ = a, SA = b; SO (ABC).

V = SоснH = AB2 H = a2 H. Із ΔSAO

SO = = = .

Тоді V = a2 H = a2· SO = a2 = a2 = a2 .

Відповідь. a2 .

Розв'язання задачі № 35

І спосіб

Нехай SABC — дана піраміда (рис. 158); <ASB = <BSC = <CSA = 90°; SA = SB = SC = b.

S ABC — правильна піраміда, оскільки АВ = ВС = AC = b , тобто в основі піраміди лежить правильний трикутник ABC і вершина S проек­тується в точку О — центр трикутника ABC.

Із ΔS0В SO= = = = .

Отже, V = · · = .

Відповідь. .

I I спосіб

Перевернемо піраміду SABC (рис. 158), прийнявши за основу грань SAB (рис. 159), тоді маємо:

V = Sосн · H = · SB · SA · SC = .

Відповідь. .


Розв'язання задачі № 38

S ABCDS1 — правильний октаедр, SA = а.

VSABCDS1 = 2 · VSABCD = 2 · Sосн H = 2 · a3H (рис. 160).

Із ΔSAO
SO = = = = .

VSABCDS1 = 2 · a3 =

Відповідь. .

2. Самостійна робота.

Варіант 1

1) Основа піраміди — ромб зі стороною а і кутом α, висота піраміди дорівнює h. Знайдіть об'єм піраміди. (5 балів)

2) Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює 2 см, плоский кут при вершині дорівнює 60°. Знайдіть об'єм піраміди. (7 балів)

Варіант 2

1) Знайдіть об'єм піраміди, висота якої дорів­нює h, а основа — прямокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим кутом α. (5 балів)

2) Сторона основи правильної шестикутної пі­раміди дорівнює 3 см, бічне ребро утворює з основою кут 45°. Знайдіть об'єм пірамі­ди. (7 балів)

Варіант З

1) Основа піраміди — прямокутник, діаго­наль якого дорівнює d і утворює зі сторо­ною кут φ. Висота піраміди дорівнює h. Знайдіть об'єм піраміди. (5 балів)

2) Діагональ основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см, бічна грань утво­рює з основою кут 60°. Знайдіть об'єм пі­раміди. (7 балів)

Варіант 4

1) Основа піраміди — рівнобедрений трикутник з кутом α при вер­шині, а його висота, проведена до основи, дорівнює h. Висота піра­міди дорівнює H. Знайдіть об'єм піраміди. (5 балів)

2) Висота основи правильної трикутної піраміди дорівнює 2 см, бічне ребро утворює з висотою піраміди кут 30°. Знайдіть об'єм пірамі­ди. (7 балів)

Відповідь. Варіант 1. 1) a2 h sin α; 2) см3.

Варіант 2.1) c2h sin 2α; 2) см3.

Варіант 3. 1) d2 h sin 2φ, 2) см3.

Варіант 4. 1) h2H tg ; 2) см3.

II. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу

Об'єм зрізаної піраміди

Теорема

О б'єм зрізаної піраміди, площі основ і висота якої дорівнюють відповідно S, S1 і h, можна знаходити за формулою

V = h (S+ +S1)

Доведення

Зрізану піраміду можна одержати із повної піраміди шляхом відти­нання від неї меншої піраміди, і, отже, об'єм зрізаної піраміди дорівнює різниці об'ємів всієї піраміди і піраміди, яку відрізали (рис. 161).

Площі S і S1 їх основ відносяться, як квадрати відстаней від відпо­відних площин до вершини Р. Якщо РО1 = х, то

= ; Sx2 = S1 (x + h)2; · x = (x + h); · x – x = h; x · ( – ) = h; .

Отже, об'єм V зрізаної піраміди V = (x + h) S – x S1 = x S + h S – x S1 = = h S + x (S – S1) = h S + (S – S1) = h S + h · ( + ) = = hS + h + hS1 = h (S + + S1).

Розв'язування задач

1. Знайдіть об'єм правильної чотирикутної зрізаної піраміди, якщо бічне ребро дорівнює 3 см, а сторони основ — 5 і 1 см. (Відповідь. 10 см3.)

2. Площі основ зрізаної піраміди дорівнюють 245 см2 і 80 см2, а висо­та повної піраміди — 35 см. Знайдіть об'єм зрізаної піраміди. (Від­повідь. 2325 см3.)

3. Об'єм зрізаної піраміди дорівнює 1720 см3, її висота — 20 см, від­повідні сторони двох основ відносяться, як 5:8. Знайдіть площі основ зрізаної піраміди. (Відповідь. 50 см2, 128 см2.)

4 . У трикутній зрізаній піраміді висота дорівнює 10 см, сторони однієї основи — 27 см, 29 см, 52 см, а периметр другої основи дорівнює 72 см. Знайдіть об'єм зрізаної піраміди. (Відповідь. 1900 см3.)

5. Знайдіть об'єм правильної трикутної зрізаної піраміди, якщо бічне ребро дорівнює l, а сторони основ дорівнюють а і b (а > b).

Розв'язання

Нехай АВСА1В1С1 — правильна трикутна зрізана піраміда (рис. 162), у якої АВ = а, A1B1 = b; АА1 = 1; точки О і О1 — центри основ. Викори­стовуючи властивість правильних трикутників, маємо:

AO = = , А1O1 = = .

Проведемо А1М (АВС), тоді AM = AO – A1O1 = .

Із ΔAA1M A1M = = = .

Об'єм V піраміди дорівнює:

V = AM · =

= · · = (a2 + ab + b2) · .

Відповідь. (a2 + ab + b2) · .

6. Задача № 46 (c. 112).

Об'єми подібних тіл

Пояснення можна зробити так, як це зроблено в п. 72 § 7 підручника.

Розв'язування задачі № 48 (c. 112).


III. Домашнє завдання

§ 7, п. 71, 72; контрольне запитання № 9; задачі № 45, 47 (с. 112).


IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Запишіть формулу, за якою можна обчислити об'єм зрізаної піраміди.

2) Як відносяться об'єми подібних тіл?

3) Ребро одного куба удвічі більше за ребро другого куба. У скільки разів об'єм першого куба більший за об'єм другого?

4) Як зміниться об'єм правильної чотирикутної піраміди, якщо сторо­ну її основи збільшити у 3 рази, а висоту зменшити у 2 рази?

5) Як відносяться об'єми двох кубів, якщо діагональ одного з них до­рівнює 2 см, а ребро другого см?



4


‹
›