Тема уроку. Розв'язування задач.

Мета уроку: формування умінь знаходити невідомі елементи та площі поверхні піраміди.

Обладнання: модель піраміди, схема «Окремі види пірамід».

І. Перевірка домашнього завдання

Обговорення розв'язування задачі № 52 за готовими рисунками.

Розв'язання задачі № 52

Дану задачу можна було розв'язати методом слідів. Нехай AD — дана сторона основи піраміди; Μ — точка на бічному ребрі. Розглянемо два випадки.

1. AD || BC (рис. 80);

2. AD перетинається з ВС (рис. 81).

Треба з'ясувати такі питання.

1)Якщо AD || ВС, то чому MN || AD? Обґрунтуйте.

2) Як було побудовано переріз піраміди у випадку, якщо AD || ВС ?

3) По якій прямій січна площина перетинає основу піраміди?

4) Як знайдено пряму, по якій січна площина перетинає площину гра­ні SBC (рис. 81)?

5) Поясніть, як побудовано переріз у другому випадку (рис. 81)?

Слід зазначити, що цю задачу можна було розв'язати методом внут­рішнього проектування (рис. 82). Просимо учнів пояснити, як був побу­дований переріз у такому разі.

II. Закріплення та осмислення знань учнів

Знаходження невідомих елементів та площі поверхні піраміди

Піраміди, в яких бічні ребра нахилені до площи­ни основи під рівними кутами

На попередніх уроках було доведено таке твердження: якщо в деякій піраміді всі бічні ребра рівні між собою або якщо вони утворюють із площиною основи (чи висотою піраміди) рівні кути, то вершина пірамі­ди проектується в центр кола, описаного навколо основи (схема «Окремі види пірамід»).



Задача.

В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з катетом а і протилежним кутом α. Бічні ребра піраміди утворюють з основою кут β. Знайдіть площу найбільшої бічної грані піраміди.

Розв'язання

Нехай SABC — задана піраміда; <ACB = 90°, <CAB = α , ВС = а; SO (АВС) (рис. 83). Оскільки <SAO = <SCO = <SBO = β , то точка О — центр кола, описаного навколо трикутника АВС. Оскільки ΔΑΒΟ —пря­мокутний, то точка О — середина АВ.

Найбільшою бічною гранню є грань SAB, тоді SSAB = АВ · SO.

Із ΔАВС АВ = = , тоді АО = .

Із ΔASO SO = AO tg<SAO = .

Отже, SSAB = · · =

Відповідь. .

Розв'язування задач

  1. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом 30° і протилежним йому катетом, що дорівнює 30 см. Бічні ребра нахи­лені до площини основи під кутом 60°. Знайдіть висоту піраміди.

(Відповідь. 30 см.)

  1. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з гіпотенузою 12 см. Знайдіть висоту піраміди, якщо всі бічні ребра нахилені до площини основи під кутом 30°. (Відповідь. 2 см.)

  2. В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом α при вершині і бічною стороною b. Знайдіть висоту піраміди, якщо всі її бічні ребра нахилені до основи під кутом β. (Відповідь. .)

  3. В основі піраміди лежить трикутник зі стороною a і протилежним їй кутом 135°. Бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом 60°. Знайдіть висоту піраміди. (Відповідь. .)

Піраміди, в яких усі двогранні кути при основі рівні між собою

Якщо в деякій піраміді усі двогранні кути при основі рівні між со­бою, то вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу (схема «Окремі види пірамід», с. 74).

Крім того, в таких пірамідах висоти бічних граней, проведені з вер­шини піраміди, рівні і кути, утворені цими висотами з висотою пірамі­ди, рівні.

Задача.

Доведіть, що бічна поверхня піраміди, в якій усі двогранні кути при основі рівні, дорівнює відношенню площі основи піраміди до косинуса лінійного кута двогранного кута на основі піраміди (задача № 65 із під­ручника, с. 81).

Розв'язання

Нехай у піраміді SABC SO (АВС), OK AC, ON BC, OM AB; тоді за теоремою про три перпендикуляри SK АС, SN BC, SM AB (рис. 84, с. 72), тобто і <SKO = <SNO = <SMO = α, отже, точка О — центр кола, вписаного в трикутник ABC, і ОК = ON = ОМ, а також SK = SN = SM.

Sбіч = SSAB + SSAC + SSBC = SM · AB + SK · AC + SN · BC =

= SK (AB + AC + BC) = · (AB + AC + BC) = = · = .

Отже, .

Розв'язування задач

  1. Кожна бічна грань чотирикутної піраміди, в основі якої лежить ква­драт, нахилена до основи під кутом 60° · Площа основи піраміди 16 см2. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди. (Відповідь. 32 см2.)

  2. Основою піраміди є трикутник зі сторонами 13, 20 і 21 см. Знайдіть висоту піраміди, якщо двогранні кути при основі дорівнюють по 30°. (Відповідь. см.)

  3. Основою піраміди є прямокутний трикутник з гострим кутом α і катетом b, прилеглим до нього. Кожна бічна грань нахилена до ос­нови піраміди під кутом β. Знайдіть бічну поверхню піраміди. (Відповідь. .)

  4. В основі піраміди лежить ромб, більша діагональ якого дорівнює d, а гострий кут — α. Бічні грані піраміди нахилені до основи під Ку­том β. Знайдіть висоту піраміди. (Відповідь. .)

Піраміди, в яких дві суміжні бічні грані перпен­дикулярні до площини основи

Задача

Якщо в деякій піраміді дві суміжні бічні грані перпендикулярні до основи, то спільне ребро цих граней є висотою піраміди.

Розв'язання

Нехай у піраміді SABC (SAB) (АВС), (SAC) (АВС) (рис. 85). Доведемо, що SA (АВС).

У гранях SAC і SAB проведемо з вершини S відповідно до сторін АС і АВ перпендикуляри SN і SM. Вони будуть перпендикулярними і до площини АВС (задача № 58, § 3 підручника). Але з вершини S можна провести лише один перпендикуляр, яким буде спільне ребро SA. Отже, SA — висота піраміди.


Розв'язування задач

  1. Основою піраміди SABC є трикутник із сторонами АС =13 см, АВ =15 см, СВ = 14 см. Вічне ребро SA перпендикулярне до пло­щини основи і дорівнює 9 см. Знайдіть площу повної поверхні піра­міди. (Відповідь. 315 см2.)

  2. В основі піраміди лежить ромб зі стороною а і тупим кутом β. Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута, перпендику­лярні до основи, а дві інші — нахилені до неї під кутом α. Знайдіть бічну поверхню піраміди. (Відповідь. .)

Піраміди, в яких одна бічна грань перпендикуляр­на до площини основи

Якщо тільки одна бічна грань піраміди перпендикулярна до площи­ни основи, то висотою піраміди буде висота цієї грані.

З адача

Якщо в трикутній піраміді одна бічна грань перпендикулярна до площини основи, а дві інші нахилені до основи під рівними кутами, то орто­гональною проекцією вершини піраміди на пло­щину основи є основа бісектриси трикутника, що лежить в основі піраміди.

Розв'язання

Нехай SABC — піраміда, у якій (SAB) (АВС),

SO (АВС) (рис. 86). ОМ СВ, ON AC, тоді за теоремою про три перпендикуляри SМ СВ, SN AC і, отже, <SNO = <SMO. Доведе­мо, що CO — бісектриса трикутника АВС, тобто <ACO = <BCO.

Оскільки бічна грань SAB перпендикулярна до площини АВС, то SO (АВС) і точка О належить прямій АВ. Із рівності прямокутних трикутників SOM і SON (SO — спільний катет, <M = <Ν) випливає, що ОМ = ON.

Із рівності прямокутних трикутників ОМС і ONC (ОС — спільна гіпотенуза, OM = ON) маємо: <OCM = <OCN. Отже, CO — бісектриса трикутника АВС.

Розв'язування задач

  1. Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з основою а і кутом α при вершині. Бічна грань, що містить основу цього трикутника, перпен­дикулярна до основи, а дві інші — нахилені до неї під кутом β. Знайдіть бічну поверхню піраміди. (Відповідь. .)

  2. Основою піраміди є прямокутний трикутник з катетом а і прилег­лим до нього гострим кутом α. Бічна грань, що містить інший ка­тет цього трикутника, перпендикулярна до неї, а дві інші — нахи­лені до основи під

кутом β. Знайдіть бічну поверхню піраміди. (Відповідь. .)

III. Домашнє завдання

Задача № 47* (с. 80). Повторити контрольні запитання № 27—29.


IV. Підведення підсумку уроку

При підведенні підсумку уроку доречно використати наступну схему.

5


‹
›