ЗМІСТ……………………………………………………………………………………3

ВСТУП…………………………………………………………………………………...4

РОЗДІЛ 1 ІСТОРИЧНИЙ АСПЕКТ. БАГАТОЗНАЧНІСТЬ ТЕРМІНУ.

1.1. З історії виникнення поняття «трапеція»……………………………….5

1.2. Багатозначність терміну «трапеція»……………………………………5

РОЗДІЛ 2 ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА.

2.1. Означення трапеції………………………………………………………6

2.2. Елементи трапеції. Паралелограм Варіньона………………………….6

2.3. Види трапецій……………………………………………………………6

РОЗДІЛ 3 ВЛАСТИВОСТІ ЕЛЕМЕНТІВ ТРАПЕЦІЇ.

1. Властивості довільної трапеції………………………………………..8

2. Чудовий трикутник трапеції…………………………………………..11

3. Властивості рівнобічної трапеції……………………………………..12

4. Властивості прямокутної трапеції……………………………………14

5. Середня лінія рівнобічної трапеції. Альтернативні способи доведення………………………………………………………………14

6. Теорема про середню лінію трапеції. Альтернативні способи доведення………………………………………………………………15

7. Трапеція – привід для аналогій……………………………………….18

ВИСНОВКИ…………………………………………………………………………….19

Список літератури………………………………………………………………………20

Додатки…………………………………………………………………………………..21

ВСТУП

«Те, що не може геометрія, не можемо і ми» - Блез Паскаль.

Трапеція – одна з найпопулярніших і досліджуваних фігур шкільної геометрії. Цей термін є багатозначним: геометрична фігура, гімнастичний прилад, гірська вершина, японський мультфільм, номенклатурний аркуш, скупчення зір тощо. Трапецію можна зустріти в просторових геометричних тілах, в побуті, в моді, в архітектурі тощо.

Метою роботи є узагальнення властивостей елементів трапеції, дослідження різних способів їх доведення та подальшого практичного застосування.

Вивчення трапеції — це можливість глибше вивчити подібність трикутників, геометричні перетворення, рівновеликість фігур, поглибити знання в задачах на побудову. Трапеція тісно пов’язана з колом, трикутниками. Методи доведення властивостей, широко застосовуються в інших темах як планіметрії, так і стереометрії. Доведення декількох властивостей в роботі пропонується багатьма способами. Пропонується розглянути трапецію як привід для аналогій.

Актуальність роботи полягає в узагальненні теоретичного матеріалу по темі «Трапеція»; властивостей елементів трапеції в залежності від виду, у пошуку цікавих методів їх доведення, у доведенні різними способами; у практичному застосуванні властивостей та методів при розв’язуванні задач як в математиці так і в інших галузях; у дослідженні теоретичного матеріалу, який виходить за рамки шкільної програми, але зустрічається на зовнішньому незалежному оцінюванні та стане у пригоді майбутнім абітурієнтам і вчителям при проведенні факультативів.

Робота містить цікаві історичні нариси про досліджуванні об’єкти.

РОЗДІЛ 1

ІСТОРИЧНИЙ АСПЕКТ. БАГАТОЗНАЧНІСТЬ ТЕРМІНУ

1.1. З історії виникнення поняття «трапеція».

Слово «трапеція» походить від грецького слова τραπέζιον — «столик». Цей термін і слово «трапеза» (грецькою τράπεζα) мають спільне походження, тобто слово «трапеза» дослівно означає «стіл, їжа». Термін трапеція спочатку застосовувався в розумінні будь-якого чотирикутника і лише у XVIII столітті набув сучасного змісту. Деякі властивості елементів трапеції були вже відомі стародавнім єгиптянам і вавилонським землемірам. Єгиптяни вміли обчислювати площу трапеції. Вавилонські математики про трапецію говорили «лоб бика».

1.2. Багатозначність терміну «трапеція».

Термін «трапеція» - є багатозначним. (Додаток А) Трапе́ція — це чотирикутник, дві протилежні сторони якого паралельні. Криволінійна трапеція - фігура на площині, обмежена графіком невід'ємної неперервної функції у=f(х), визначеною на відрізку [a; b], віссю абсциса і прямими х=а та х=b, яка широко використовується у зачах фізичного та хімічного змісту. Трапеція – це гімнастичний прилад, що складається з горизонтальної поперечки, підвішеної на двох тросах або мотузках. Трапеція — гірська вершина на Уралі. Трапеція — японський мультфільм (аніме, психологічна драма). Трапеція — номенклатурний аркуш топографічної карти (Її рамки – трапеції, утворені меридіанами й паралелями, проведеними відповідно через 6° довготи і 4° широти). Трапеція Оріона, або Скупчення Трапеція Оріона є компактним розсіяним скупченням зір, що розташоване у самому серці Туманності Оріона. Воно було відкрито Галілео Галілеем 4 лютого 1617 року, коли він замалював відносне розташування трьох зір трапеції (A, C, D).

Трапецію можна побачити у багатьох плоских та просторових геометричних фігурах.

РОЗДІЛ 2. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

2.1. Означення трапеції.

Чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні, називається трапецією.

А ВСD - трапеція

2.2. Елементи трапеції. Паралелограм Варіньона.

S

Елементи трапеції: сторони (АВ, ВС, СD, DА), кути ( А, В, С, D), діагоналі (АС, ВD), висоти (СО), середні лінії (МN, SК). Паралельні сторони трапеції називаються її основами (AD || ВС – основи), а непаралельні бічними сторонами (АВ і СD). Висотою трапеції (СО) називається перпендикуляр, проведений з будь-якої точки однієї основи до іншої основи або до її продовження. Відрізок, який сполучає середини бічних сторін (МN), називається середньою лінією трапеції. Відрізок, який сполучає середини основ трапеції (SК), називається другою середньою лінією трапеції. Якщо з'єднати середини бічних сторін і середини основ трапеції послідовно, то утвориться чотирикутник (МSNК), який називають паралелограмом Варіньона (1654-1722, Франція).

AВСD – трапеція

О

К

2.3. Види трапецій.

Трапеції класифікують за кутами (прямокутні, непрямокутні) та за сторонами (рівнобічні, нерівнобічна або різностороння).

Прямокутна Рівнобічна Різностороння (довільна)

Трапеція – це окремий вид чотирикутника. Зв’язок між чотирикутниками ілюструє схема:

РОЗДІЛ 3 ВЛАСТИВОСТІ ЕЛЕМЕНТІВ ТРАПЕЦІЇ.

3.1. Властивості довільної трапеції.

Властивість: сума кутів трапеції, прилеглих до однієї бічної сторони, дорівнює 180°.

A ВСD – трапеція (AD || ВС). Доведемо, що С + D = 180°, А + В = 180°.

А і В, С і D – є внутрішніми односторонніми при AD || ВС та січних АВ та СD відповідно. За властивістю паралельних прямих А + В = 180° та С + D = 180°.

Властивість: середня лінія трапеції паралельна основам та дорівнює їх півсумі.

AВСD – трапеція (AD || ВС). Доведемо, що

середня лінія МN || AD і МN || ВС,

МN = .

Виконаємо допоміжну побудову. Через точки М і С проведемо пряму, яка перетинає продовження сторони АD в точці Е. ∆ МВС = ∆ МАЕ за стороною і прилеглими до неї кутами (ІІ ознака рівності трикутників). З рівності випливає, що МС=МЕ, тобто МN – є середня лінія ∆ ЕСD. За властивістю середньої лінії трикутника МN || ЕD, тому МN || АD. Оскільки АD || ВС, то МN || ВС .

МN = , а ЕD = АD + ЕА і ЕА = ВС, то МN = .

Властивість: відрізок, що сполучає середини діагоналей трапеції дорівнює піврізниці основ та лежить на середній лінії.

т

Е

. М є АС, т. N є ВD, АМ = МС, DN = NВ. Доведемо, що МN є ЕF і МN = .

У ∆ АСD і ∆ АВD МF і ЕN – середні лінії, які паралельні стороні АD, тому точки М, N є ЕF. За властивістю середніх ліній МF = і ЕN = . Оскільки МF = МN + NF і ЕN = ЕМ + МN, а FN= і ЕМ = , то додавши всі рівності почленно та виконав перетворення маємо: МF + ЕN = , МN + NF + ЕМ + МN = АD,

2 МN + = АD, МN = (АD –BC):2.

Властивість: в трапецію можна вписати коло, якщо сума основ трапеції дорівнює сумі її бічних сторін.

Е

З

F

К

Р

а властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки, маємо: АЕ = АР, ВЕ = ВF, СК = СF, DК = DР. Додавши почленно ці рівності, отримаємо: АЕ+ВЕ+ СК+DК=АР+ВF+СF+DР, тобто АВ+СD=ВС+АD.

Властивість: в трапеції середини основ, точка перетину дiагоналей i точка перетину прямих, що мiстять бічні сторони, лежать на однiй прямiй.

АВСD - трапеція. Доведемо, що точки Н (перетину діагоналей АС і ВD), F, G (середини основ ВС і АD відповідно), Е (перетину прямих, що містять бічні сторони) лежать на одній прямій.

Гомотетія з центром Н і коефіцієнтом , як і гомотетія з центром Е і коефіцієнтом відображує відрізок АD у СВ, а середину G відрізка АD у середину F відрізка СВ. Отже точки Н, G, F і точки Е, G, F колінеарні, це означає, що точки Е, G, F, Н лежать на одній прямій.

В

А

N

ластивість: середні лінії трапеції в точці перетину діляться навпіл.

А

F

Е

В

С

М

D

ВСD – трапеція (АВ || DС). Середні лінії трапеції МN та FЕ– діагоналі паралелограма Варіньона. FNЕМ – є паралелограм за означенням, FN || ВD і МЕ || ВD за властивістю середньої лінії трикутника, аналогічно NЕ || АС і FМ || АС.

Властивість: якщо діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні, то середні лінії трапеції рівні.

Це випливає з паралелограма Варіньона. Якщо АС ВD, то паралелограм FNЕМ – є прямокутником, а за властивістю діагоналей прямокутника МN = FЕ.

В

S

ластивість: якщо сума кутів при основі трапеції дорівнює 90°, то відрізок, що сполучає середини основ дорівнює їх піврізниці.

В

D

В

С

О

А

М

иконаємо допоміжну побудову. ∆ АSD ∆ ВSС за І ознакою подібності трикутників ( АSD= ВSС, SАD= SВС). Оскільки А + D = 90°, то

SВС+ SСВ=90° (як відповідні) і S=90°. За властивістю кутів вписаних в коло SМ=МD= . З подібності трикутників складемо відношення:

; ; ; АD – 2ОМ = ВС; ОМ = .

М

А

В ластивість: Трикутники, які лежать на основах трапеції при перетині діагоналей, є подібними.

∆ ВКС ∆ DКА за І ознакою подібності трикутників (за двома кутами), бо ВКС = DКА як вертикальні, ВСК = DАК як внутрішні різносторонні при

АD || ВС і січній АС.

Властивість: якщо бічна сторона трапеції дорівнює меншій основі, то діагональ, яка сполучає їх кінці, є бісектрисою кута, прилеглого до більшої основи.

Якщо АВ = ВС, то ∆ АВС – рівнобедрений. Тоді

ВАС = ВСА. Але ВСА= DАС, як внутрішні різносторонні при АD || ВС і січній АС. Звідси

ВАС= САD, тобто діагональ АС – є бісектрисою кута А, прилеглого до більшої основи трапеції АВСD.

Властивість: якщо бісектриси кутів при одній основі трапеції перетинаються на другій її основі, то друга основа дорівнює сумі бічних сторін трапеції.

О АВСD – трапеція, АО і DО – бісектриси кутів

В С А і D відповідно. Тобто АВО= ОАD і

СDО = ОDА. Так як ВОА= ОАD і

А D СОD= ОDА при АD || ВС і січних АО і DО відповідно, то ∆ АВО і ∆ DСО – рівнобедрені. Звідси АВ = ВО та DС = СО. Додамо почленно ці рівності. Звідси ВС = АВ + СD.

В ластивість: сума квадратів діагоналей трапеції дорівнює сумі квадратів бічних сторін і подвоєного добутку основ.

У трапеції АВСD проведемо висоти ВЕ і СF. Маємо АС²-АF² = СD² – FD², ВD² – ЕD² = АВ² – АЕ². Додавши ці рівності, дістанемо: АС²+ ВD² = АВ² + СD² + АF² - FD² + ЕD² - АЕ² = АВ² + СD² + АD (АF – FD + ЕD – АЕ)= АВ² + СD² + АD · 2ЕF = АВ² + СD² + 2АD·ВС.

Властивість: бісектриси кутів при бічній стороні трапеції перетинаються під прямим кутом.

A BCD — трапеція, ВК — бісектриса кута В, CM — бісектриса кута С. Доведемо, що СМ ВК

Т ак як АВ || СD і СВ – січна, то за властивістю паралельних прямих _{СВА + ВСD = 180°. Тоді}

_{СВО+ СОВ=90°. За теоремою про суму кутів трикутника у ∆ ВСО, СОВ=180°-90°=90°. Звідси} СО ВО. Тоді СМ ВК

Властивість: друга середня лінія трапеції ділить її площу навпіл.

Властивість: трикутники, що лежать на бічних сторонах і мають спільну основу є рівновеликі.

3.2. Чудовий трикутник трапеції.

А ВСD – трапеція. Точки Т₁, Т₂, Т₃, Т₄ – середини сторін трапеції. Проведемо прямі Т₁Т₃ і Т₁Т₄, вони перетнуть пряму АD в точках Е і F. Розглянемо ∆ Т₁ЕF. Оскільки ∆Т₁ВТ₃ = ∆ЕАТ₃, то Т₁Т₃ = Т₃Е, тобто точка Т₃ – середина відрізка Т₁Е. Оскільки ∆Т₁СТ₄=∆FDТ₄, то Т₁Т₄=Т₄F, тобто точка Т₄ – середина відрізка Т₁F. Властивості утвореного ∆ЕТ₁F, який є рівновеликим з трапецією АВСD, широко використовуються в задачах.

3.3. Властивості рівнобічної трапеції.

В ластивість: кути при будь-якій основі рівні.

А ВСD – трапеція, ВС || АD, АВ = DС. Доведемо, що

_ВАD= СDА. Проведемо ВЕ||СD. Утворений чотирикутник ВЕСD – паралелограм, бо протилежні його

Е сторони попарно паралельні. За властивістю паралелограма, СD=ВЕ, а за умовою СD=ВА. Отже ВА=ВЕ і ∆АВЕ – рівнобедрений. Тому

_ВАЕ= ВЕА. Але _ВЕА= СDЕ, як відповідні кути при ВЕ||СD і січній ЕD. Звідси _ВАD= СDА.

В ластивість: сума протилежних кутів 180°.

АВСD – трапеція, ВС || АD, АВ = DС. Доведемо, що

_А+ С = _В+ D=180º. Оскільки _{А+ В=}180º і

С ₊ D=180º, як внутрішні односторонні кути при

ВС || АD і відповідних січних АВ і СD та _А = D, С = _{В, бо трапеція рівнобічна. Сума кутів чотирикутника дорівнює 360º, тоді 2 А} +2 _С=360º,

_{А+ С}=180º. Аналогічно _В+ D=180º.

В ластивість: діагоналі рівні і нахилені до основи під однаковими кутами.

А ВСD – трапеція, ВС || АD. Доведемо, що діагоналі АС і ВD рівні та _{САD= ВDА.} ∆АВD=∆DСА за двома сторонами і кутом між ними (АВ=СD, АD - спільна сторона, _ВАD = _СDА). Звідси АС = ВD. Аналогічно за двома сторонами і кутом між ними ∆АСВ = ∆DВС. З рівності даної пари трикутників _{ВАС= СDВ. Тоді САD= ВDА.}

В

О

ластивість: висота, яка проведена на більшу основу трапеції, ділить її на два відрізки, один з яких дорівнює півсумі основ, а інший їх піврізниці.

А ВСD – трапеція, ВС || АD, АВ = DС. Доведемо, що АК = (АD-ВС):2 та КD= (АD+ВС):2.

П

К

Е

роведемо висоту СЕ. ∆АВК=∆DСЕ за гіпотенузою і катетом. З рівності трикутників випливає, що АК=DЕ. Чотирикутник КВСЕ – прямокутник. Тоді ВС=КЕ. Звідси АD=АК+КЕ+ЕD = 2АК+ВС, АК=(АD-ВС):2.

Проведемо висоту трапеції з вершини D. Трапеція АВСD і прямокутник КВОD – є рівновеликими. ЕD=СО з рівності трикутників СЕD і DОС (за катетом і гіпотенузою). ВС=КЕ, АК = СО = ЕD. Тоді АD=АК+КD=СО+КD=КD-ВС+КD=2КD-ВС, КD=(АD-ВС):2.

Властивість: якщо в рівнобічній трапеції діагоналі перпендикулярні, то висота дорівнює першій середній лінії трапеції.

А

М

Р

F

S

ВСD – трапеція, ВС || АD, АВ = DС, АС _{ВD, МР – середня лінія трапеції}. Доведемо, що

О

_{ВН=МР. Проведемо через}

N

Е

вершину С трапеції пряму паралельну діагоналі трапеції ВD.

Так як АС=ВD, то ∆АСN – прямокутний і рівнобедрений, тоді _САN = _СNА=45º. Проведемо СЕ _{АN. Оскільки}

_СNЕ=45º, то _ЕСN=45º. Тоді ∆СЕD – рівнобедрений. Звідси СЕ=ЕN=АN:2=(АD+ВС):2. За властивістю середньої лінії трапеції МР=(АD+ВС):2. Тоді ВН=МР, бо СЕ=ВН.

В ластивість: якщо трапеція рівнобічна, то навколо неї можна описати коло.

АВСD – трапеція, ВС || АD, АВ = DС . Оскільки _А+ С = _В+ D=180º , то за властивістю кутів вписаного чотирикутника навколо трапеції АВСD можна описати коло.

Властивість: висота рівнобічної трапеції, у яку можна вписати коло, є середнім геометричним між її основами.

А

_О

ВСD – трапеція, ВС || АD, АВ = DС , ВО _{АD. Доведемо, що ВО2 = АD·ВС. За теоремою про властивість сторін описаного чотирикутника АВ+СD=ВС+АD. За теоремою Піфагора з} ∆АВО: АВ²=АО²+ВО². Оскільки трапеція рівнобічна, то АО=(АD-ВС):2. Тоді АВ² = (АD-ВС)²:4 + ВО². Перетворемо рівність _{АВ+СD=ВС+АD.}

_{(АВ+СD)2=(ВС+АD)2;}

_{АВ2+2·АВ·СD+ВС2=ВС2+2·ВС·АD+АD2;}

_4·((АD-ВС)²:4 + ВО²)= _{ВС2+2·ВС·АD+АD2;}

_{АD2-2·ВС·АD+ ВС2+} 4ВО²= _{ВС2+2·ВС·АD+АD2;}

_4ВО²=_{4·ВС·АD;}

_{ВО2 = АD·ВС.}

В

М

ластивість: якщо середини сторін рівнобічної трапеції з’єднати відрізками, то одержимо ромб.

А

О

Р

Т

ВСD – трапеція, ВС || АD, АВ = DС . дяагоналі трапеції АС і ВD – рівні. Тоді рівні будуть середні лінії ОМ, МТ, ТР, РО трикутників АВС, ВСD, СDА, DАВ (за властивістю середньої лінії). Звідси за означенням паралелограм Варіньона є ромбом.

3.4. Властивості прямокутної трапеції.

Властивість: два кути прямі, один гострий і один тупий.

Властивість: бічна сторона трапеції, перпендикулярна до її основ, є меншою бічною стороною і дорівнює висоті трапеції.

3 .5. Середня лінія рівнобічної трапеції. Альтернативні способи доведення.

У

К

рівнобедреній трапеції АВСD (ВС || АD) з вершини В проведено перпендикуляр ВК (К АD). Довести, що відрізок КD дорівнює середній лінії трапеції.

П ершій спосіб.

Проведемо СЕ || ВК, Е АD. Нехай ВС=КЕ=m, АК=ЕD=n.

О

М

N

К

скільки середня лінія МN= (ВС+АD):2, то МN=(m+m+n+n):2=2(m+n):2=КD.

Д ругий спосіб.

С

М

N

К

получимо точки М і К. у прямокутному трикутнику АВК медіана МК = АВ:2 = ND. Отже, чотирикутник МNDК – паралелограм, звідси КD=МN.

Т

Р

ретій спосіб.

П

М

N

роведемо DР||ВК. Оскільки ∆АВК=∆СРD, то КD=(АD+ВС):2=МN.

К

Ч

b

етвертий спосіб.

Н

а

К

ехай ВС=b, АD=а. оскільки АК= (а-b):2, то

КD=a-(а-b):2=(а+b):2. Отже відрізок КD дорівнює середній лінії трапеції.

3.6. Теорема про середню лінію трапеції. Альтернативні способи доведення.

Теорема. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.

Доведення.

П ерший спосіб.

За теоремою оберненою до теореми Фалеса (Якщо прямі відтинають на одній стороні кута рівні між собою відрізки і на другій стороні кута рівні між собою відрізки, то такі прямі паралельні). Якщо МА=МВ, а DN=СN і ВС||АD, то МN||ВС||АD і МN=АК:2.

Другий спосіб.

Н ехай МN – середня лінія трапеції АВСD. Проведемо СЕ||АВ, F-точка перетину СЕ і МN. Оскільки СF=FЕ, то FN – середня лінія трикутника ЕСD і FN||ЕD, отже МN||АD. Доведемо, що МN=(ВС+АD):2. Справді ЕD=АD-ВС, FN=(АD-ВС):2, а МN=МF+FN= ВС+(АD-ВС):2=(ВС+АD):2.

Т ретій спосіб.

Через точки А і D проведемо перпендикуляри до прямої ВС. Дістанемо прямокутник АА₁D₁D. Нехай А₁В=m, СD₁=n, АD=b, ВС=а. Очевидно, що m+n=b-а. Нехай точки Е і F – середини відрізків АА₁ і D D₁. Тоді МN||АD і АD=ЕМ+МN+NF=m:2+n:2+МN. Звідси МN=

Ч етвертий спосіб.

Доповнимо трапецію АВСD до паралелограма. Тоді NЕ – середня лінія ∆DСК і NЕ||СК. Оскільки КС=АD-ВС, то NЕ= і МN+ =АD, звідки МN= .

П ’ятий спосіб.

Проведемо висоти ВВ₁ і СС₁. Середні лінії МЕ і FN трикутників АВВ₁ і DСС₁ паралельні АD. Нехай МЕ=m, FN=n, ВС=а, АD=b. Оскільки m= АВ₁, n= С₁D, то m+n= і МN=а+ m+n=а+ = .

Ш остий спосіб.

Проведемо діагональ АС. Нехай точка Е – середина АС. Тоді МЕ || ВС, ЕN || АD, отже, МN||ВС||АD.

МЕ= ВС, ЕN= АD. МN = МЕ + ЕN = .

С ьомий спосіб.

Проведемо СК || ВD. У паралелограмі ВDКС перетин прямої МN і діагоналі СD утворює центр симетрії – точку N. З ∆АВD: МL = АD, LN = LЕ = ВС і LЕ || ВС

МN = МL + LN = .

В осьмий спосіб.

Нехай точка О – середина АD, точки Е і К – середини відрізків ВО і СО: МЕ = АО, ЕК = ВС, КN = ОD і МЕ || АО, ЕК || ВС, КN || ОD. МN = АО+ ВС+ ОD = АD + ВС + АD = .

Д ев'ятий спосіб.

З точок В, С, М, N опустимо перпендикуляри на основу АD. Перпендикуляр МК буде середньою лінією ∆АВL (ВL _{АD). Аналогічно, NF – середня лінія} ∆СЕD. Позначимо АК = КL = m, FD = FЕ = n. Маємо (ВС = а; АD = b): m + m + а + n + n = b; 2m + 2n = b – а, m + n = , МN = АD – (АК + FD) = b – (m+n) = b – = .

Д есятий спосіб.

Нехай точка Т – середина відрізка ВС. Відрізок МN перетинає відрізки АТ і DТ у точках Е і К відповідно. МЕ= , КN= , ЕК= . Маємо: МN= + + = = .

Одинадцятий спосіб.

Н ехай точка Т – середина відрізка ВС. Проведемо ТЕ || АВ і ТF || DС, L і К – точки перетину цих відрізків із прямою МN. Маємо: МN = МL + LК + КN = .

3.7. Трапеція – привід для аналогій.

«Математик – це той, хто вміє знаходити аналогії між твердженнями; кращий математик – той, хто встановлює аналогії доведень; більш сильний математик той, хто помічає аналогії теорій; але можна уявити собі й такого, хто між аналогіями бачить аналогії» - Стефан Банах.

Думка розглянути трапецію як «вироджений» трикутник може виникнути у зв’язку з формулою середньої лінії МN = . Нехай ВС = а, АD = b.

Очевидно, що при а = 0 трапеція «Вироджується» у трикутник і формула МN = стає формулою середньої лінії трикутника АВС: МN = .

З адача. У трапеції АВСD друга середня лінія, відрізки АN і DМ перетинаються в одній точці.

Доведення.

Справді друга середня лінія проходить через точку перетину діагоналей трапеції. Отже вона належить відрізку Т₄Т₃.

З адача. Три медіани трикутника перетинаються в одній точці. Довести.

Відрізки трапеції АN і DМ аналогічні медіанам СМ₃ і ВМ₂, а друга середня лінія – медіані АМ₁.

ВИСНОВКИ

Ми переконалися, що трапеція – одна з найпопулярніших і досліджуваних фігур шкільної геометрії. Цей термін є багатозначним. Трапецію можна зустріти в багатьох галузях.

Узагальнивши властивості елементів трапеції, ми дослідили різні способи їх доведення, які в подальшому вивченні геометрії, як планіметрії так і стереометрії, мають широке практичне застосування. Використані різноманітні нестандартні допоміжні побудови.

Переконалися у тісному зв’язку трапеції з іншими геометричними фігурами: колом, трикутниками. Підібраний і систематизований матеріал розширює і поглиблює знання з тем: подібність трикутників, геометричні перетворення, рівновеликість фігур, задачі на побудову. Проведена значна робота щодо пошуку декількох способів доведення деяких властивостей (десятьма способами). Трапеція розглядається як привід для аналогій і поєднується з іншими темами.

Частина досліджуваного матеріалу в роботі виходить за рамки шкільної програми, тому укладений матеріал стане в пригоді учням при підготовці до зовнішнього незалежного оцінювання, державної підсумкової атестації і вчителям при проведенні уроків та факультативів.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

• Бурда М.І., Тарасенкова Н.А. Геометрія. Підручник для 8 класу загальноосвітніх навчальних закладів, Київ «Зодіак-ЕКО», 2008, - 239с.

• Юшкевич А.П. История математики с древнейшихвремен до начала XIXстолетия. Навч. Посіб.- М.: Наука, 1970, т. 1.- 352 с. ; 1970,т.2.- 300 с.; 1972,т.3- 496 с.

• Кушнір І.А. Геометрія трапеції в задачах. - Х.: видавнича группа «Основа», 2009. -91 с.

• Виноградова И. М. Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 5. - М.: Советскаяэнциклопедия, 1984, - 683с.

• Бажана М. Українська радянська енциклопедія. У 12-ти томах. - 2-ге вид. — К., 1974—1985.

• Бурда М.І., Біляніна О.Я., Вашуленко О.П., Прокопенко Н.С. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики 11 клас. – Х., «Гімназія», 2008.

• Кушнір І.А. Методи розв’язування задач з геометрії. К., 1994.