УРОК 43
Тема уроку: Показникова функція, її графік і властивості.
Мета уроку: Засвоєння учнями поняття показникової функції, її властивостей і графіка.
Обладнання. Таблиця «Показникова функція».
І. Аналіз контрольної роботи.
II. Повідомлення теми уроку.
III. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу.
!Функція виду у = ах, де а > 0, а ≠ 1, називається показниковою (з основою а).
Усне виконання вправ
1. Які із поданих функцій є показниковими:
а) у = 2х; б) у = х3; в) у = (-5)х; г) у = (
)х; д) у = (0,3)х; е) у = πх?
Відповідь: а); г); д); е).
2. Наведіть приклади показникових функцій.
П
очнемо вивчення показникових функцій з функції у = 2х. Складемо таблицю значень функції:
х | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
у = 2х | | | | 1 | 2 | 4 | 8 |
Побудуємо на координатній площині точки з таблиці і з'єднаємо ці точки плавною лінією. Одержимо графік функції у = 2х (рис. 142).
Показникова функція у = 2х має властивості:
1. Область визначення — множина всіх дійсних чисел.
2. Область значень — множина всіх додатних чисел.
3. Функція у = 2х — зростаюча на множині всіх дійсних чисел.
4. Графік функції перетинає вісь у в точці(0; 1).
Усне виконання вправ
1. Чи є серед значень функції у = 2х:
а) найбільше; б) найменше? Відповідь: ні.
2. Порівняйте значення виразів:
а) 
і 
; б) 2-3 і 2-4; в) 
і 
.
Відповідь: а) 
< 
; б) 2-3 > 2-4; в) 
> 
.
3. Розташуйте числа 
; 
; 
; 
; 
у порядку зростання.
Відповідь: 
; 
; 
; 
; 
.
4. Порівняйте х і у, якщо відомо, що вірна нерівність:
а) 2х > 2у; б) 2х < 2у. Відповідь: а) х > у; б) х < у.
5. На рисунку 86 із підручника зображено графіки функцій у = 2х і у = 3х. Чим відрізняються ці функції? Їхні графіки?
Відповідь: ці функції мають одинакові властивості, функція у = 3х зростає більш швидше (графік цієї функції піднімається вгору більш круто).
Побудуємо графік функції у = 
, для цього складемо таблицю значень функції:
П
обудуємо на координатній площині точки з таблиці і з'єднаємо ці точки плавною лінією. Одержимо графік функції у = 
(рис. 143). Сформулюємо властивості функції
х | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
у = | 8 | 4 | 2 | 1 | | | |
1. Область визначення — множина всіх дійсних чисел.
2. Область значень — множина всіх додатних чисел.
3. Функція у = 
— спадна на множині всіх дійсних чисел.
4. Графік функції перетинає вісь у в точці (0; 1).
Усне виконання вправ
1. Чи є серед всіх значень функції у = 
:
а) найменше; б) найбільше? Відповідь: ні.
2. Порівняйте значення виразів:
а) 
і 
; б) 
і 
; в) 
і 
; г) 
і 
; д) 
і 
.
Відповідь:
а) 
>
; б) 
=
; в) 
>
; г) 
<
; д) 
<
.
3. Розташуйте числа 
, 
, 
, 
, 
у порядку зростання.
Відповідь: 
, 
, 
, 
, 
.
4. Порівняйте х і у, якщо відомо, що вірна нерівність: а)
>
; б)
>
;
Відповідь: а) х < у; б) х > у.
5. Порівняйте як розташовані графіки функцій у = 2х і у = 
, користуючись рис. 88 із підручника.
Відповідь: графіки розташовані симетрично відносно осі ОY.
6. Чим відрізняються властивості і графіки функцій у =
і у= 
?
Відповідь: вони мають однакові властивості, функція у = 
спадає більш швидше.
IV. Систематизація і осмислення вивченого матеріалу.
Враховуючи вищезазначене, можна зробити висновки.
1. Область визначення показникової функції — множина R дійсних чисел, бо степінь aх, де а > 0, визначений для всіх х 
R.
2. Множина значень показникової функції — множина всіх додатних дійсних чисел.
3. Показникова функція у = aх є зростаючою на множині дійсних чисел, якщо а > 1, і спадною, якщо 0 < а < 1.
4. Якщо х = 0, то у = а° = 1.
5. Якщо х > 0, то у > 1, якщо а > 1, і у < 1, якщо 0 < а < 1.
6. Якщо х < 0, то у < 1, якщо а > 1, і у > 1, якщо 0 < а < 1.
7. Графіком показникової функції є крива, яка називається експонентою.
Властивості показникової функції записати в робочому зошиті у вигляді таблиці 19.
Таблиця 19
Показникова функція у = ах, а > 0, а ≠ 1
| |
а > 1 | 0 < а < 1 |
1. D(y) = R 2. Е(у) = (0; + 3. Зростає x1 > x2 4. Якщо х = 0, то у = 1 5. Якщо х < 0, то у < 1 6. Якщо х > 0, то у > 1
| 1. D(y) = R 2. E(y) = (0; + 3. Спадає x1 > x2 4. Якщо х = 0, то у = 1 5. Якщо х < 0, то у > 1 6. Якщо х > 0, то у < 1
|
Усне виконання вправ
1. Які з наведених показникових функцій є зростаючими, а які — спадними:
а) y = πx ; б) y = (0,5)x; в) у = 
; г) y = 2-x.
Відповідь: а) зростаюча; б) спадна; в) зростаюча; г) спадна.
2. Порівняйте значення виразів:
а) 
i 
; б) 
і 
.
Відповідь: а) 
> 
; б) 
> 
.
3. Порівняйте х і у, якщо відомо, що вірна нерівність:
а) 0,02х < 0,02y; б) πx > πy.
Відповідь: а) х > у; б) x < у.
4. Порівняйте основу а > 0 з одиницею, якщо відомо, що вірна нерівність:
а) а10 > а15; б) а10 < а15.
Відповідь: а) а > 1; б) 0 < а < 1.
V. Підсумок уроку.
VI. Домашнє завдання.
Розділ IV § 1. Запитання і завдання для повторення № 1—12.