УРОК № 27

Тема уроку. Рівняння кола.

Мета уроку: виведення рівняння кола. Формування вмінь учнів використовувати рівняння кола до розв'язування задач.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця «Декартові координати і вектори на площині» [13].

Вимоги до рівня підготовки учнів: записують і пояснюють рівняння кола. Розпізнають рівняння кола.

Хід уроку

I. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відпо­вісти на запитання, які виникли в учнів під час їх виконання.

II. Аналіз результатів самостійної роботи

III. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

В алгебрі ми зустрічалися з різними рівняннями і будували їх графіки.

Рівнянням фігури на площині в декартових координатах на­зивається рівняння з двома змінними х і у, яке задовольняють координати будь-якої точки фігури, і навпаки: будь-які два чис­ла, які задовольняють це рівняння, є координатами деякої точки цієї фігури.

Яке ж рівняння має коло?

Для того щоб скласти рівняння кола, згадаємо його власти­вість, що міститься в означенні кола: усі точки кола розміщені в одній площині з його центром і однаково від нього віддалені.

Нехай центр кола М(а; b), а радіус кола R (рис. 140).

Позначимо на колі будь-яку точку А (х; у). Відстань від точ­ки М до точки А дорівнює R, тобто AM = R, але за формулою відстані між двома точками маємо АМ² = (х – а)² + (y – b)² , або (x – a)² + (y – b)² = R². (1)

Координати будь-якої точки цього кола задовольняють рів­няння (1). Правильно і те, що будь-яка точка, координати якої задовольняють рівняння (1), належить колу.

Отже, (x – a)² + (y – b)² = R² — рівняння кола. Якщо центр кола (рис. 141) лежить у початку координат, то воно має рівняння х² + у² = R².

Розглянемо рівняння (1), у якому х і у — змінні коорди­нати точок кола, а числа а і b — відповідно абсциса і орди­ната центра, R — радіус кола. Отже, щоб записати рівняння кола, треба запам'ятати цю формулу і знати координати центра і радіус.

Наприклад, нехай M(-1; 2), a R = 2, тоді рівняння кола (x + 1)² + (y – 2)² = 4.

Виконання вправ

1. Які з точок: А(1; 2), В(3; 4), С(-4; 3), D(0; 5), F(5; -1) —ле­жать на колі, рівняння якого х² + у² = 25?

2. Запишіть рівняння кола радіуса 1, а координати центра:

а) (1; 1); б) (-1; 1); в) (1; -1); г) (-1; -1)

3. Укажіть координати центра і радіус кола, яке задане рівнян­ням:

a) (x – 1)² + y² = 9; б) (x + 1)² + (у + 3)² = 1;

в) x² + (y + 1)² = 2; г) (x + 1)² + (y + 2)² = 7.

4. Знайдіть на колі х² + у² = 100 точки:

а) з абсцисою 6; б) з ординатою 8.

IV. Закріплення й усвідомлення нового матеріалу
Розв'язування задач

1. Дано точки А(2; 1), В(-2; 5). Складіть рівняння кола, діаме­тром якого є відрізок АВ.

2. Дано точки А(-1; -1) і С(-4; 3). Складіть рівняння кола:

а) з центром у точці А і яке проходить через точку С;

б) з центром у точці С і яке проходить через точку А.

3. Знайдіть на осі Ох центр кола, яке проходить через точ­ку А(1; 4) і має радіус 5.

4. Складіть рівняння кола з центром (1; 2), яке дотикається до осі Ох.

5. Складіть рівняння кола з центром (-3; -4), яке проходить через початок координат.

6. Доведіть, що відрізок АВ, кінці якого А(2; -5) і В(5; -2) є хордою кола (х - 5)² +(у + 5)² = 9.

7. Чи перетинає коло (х + 4)² + (у – 1)² = 20 вісь Оу? Якщо пере­тинає, то в яких точках?

V. Домашнє завдання

Вивчити рівняння кола та розв'язати задачі.

1. Коло задане рівнянням (х – 1)² + (у + 3)² =10. Чи проходить це коло через початок координат?

2. Чи перетинає коло (х – 3)² + (у + 5)² = 26 вісь Ох? Якщо пере­тинає, то знайдіть точки перетину з віссю Ох.

3. З найдіть рівняння кола, діаметром якого є відрізок АВ, якщо А(8; 5), В(2; -3).

VI. Підбиття підсумків уроку

Завдання класу

1. Запишіть рівняння кола.

2. Знайдіть координати центра і довжини радіусів кіл, зображених на рис. 142. Запишіть рівняння цих кіл.