УРОК №18

Тема уроку. Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників.

Мета уроку: Виведення формул для радіусів вписаних і описаних кіл правильного многокутника. Формування вмінь застосо­вувати виведені формули до розв'язування задач.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: табл. 5, 6.

Вимоги до рівня підготовки учнів: записують і пояснюють формули радіусів вписаного та описаного кіл правильного многокутника; радіусів вписаного й описаного кіл правильного трикутника, чотирикутника (квадрата), шестикутника та доводять їх.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відпо­вісти на запитання, які виникли в учнів під час виконання до­машніх завдань.

Задача 1. Розв'язання

Оскільки = 150°, то 180 ∙ (п – 2) = 150n; 180п – 360 = 150п; 30п = 360; п = 12.

Відповідь. 12 сторін.

Задача 2. Розв'язання

Оскільки = 24°, то 360 = 24п; п = 15.

Відповідь. 15 сторін.

Задача 3. Доведення

Н ехай А₁А₂...А_п — даний правиль­ний n-кутник (рис. 74), точка О — його центр. В₁, В₂, ..., В_п — середини сторін А₁А₂, А₂А₃, …, А_пА₁.

Тоді ОВ₁ = ОВ₂ = ... = ОВ_п — як радіуси вписаного кола в многокут­ник А₁А₂...А_п і В₁ОВ₂ = = В₂ОВ₃ = ... = B_nOB₁ = 2 B₁OA₂. Рівнобедрені трикутники В₁ОВ₂, В₂ОВ₃,..., В_пОВ₁ рівні за двома сторонами і кутом між ними. Із рівності трикутників маємо: В₁В₂ = В₂В₃ = ... = ВпВ₁і B₁B₂B₃= B₂B₃B₄ = ...= = B_nB₁B₂ = 2 OB₁B₂. Отже, п-кутник В₁В₂...В_п правильний.

Математичний диктант

Дано правильний п-кутник.

Варіант 1 (п = 4), варіант 2 (п = 6).

Знайдіть:

а) суму кутів многокутника;

б) внутрішній кут многокутника;

в) зовнішній кут многокутника;

г) центральний кут многокутника;

д) сторону многокутника, якщо його периметр дорівнює 24 см;

є) апофему многокутника, якщо його сторона дорівнює 20 см.

Відповіді

Варіант 1. а) 360°; б) 90°; в) 90°; г) 90°; д) 6 см; є) 10 см.

Варіант 2. а) 720°; б) 120°; в) 60°; г) 60°; д) 4 см; є) 10 см.

II. Сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Виведення формул радіусів вписаного і описаного кіл правильного многокутника

Н ехай задано сторону a_n правильного п-кутника (рис. 75), знайдемо радіус R описа­ного кола і радіус r вписаного кола.

Розглянемо трикутник АОВ, у якому АВ = a_n, АОВ = як центральний кут правильного п-кутника. Проведемо висоту ОС цього трикутника, тоді АОС = = = .

Із трикутника АОС знаходимо:

R = AO = = ; r = OC = = .

Отже, , .

Виведення формул радіусів вписаного і описаного кіл правильного трикутника, чотирикутника, шестикутника

Виразимо радіуси описаного та вписаного кіл через сторону правильного трикутника, чотирикутника і шестикутника.

Для правильного трикутника (рис. 76):

;

.

Для правильного чотирикутника (рис. 77):

;

.

Для правильного шестикутника (рис. 78):

;

.

Результати наших досліджень оформимо у вигляді табл. 5.

Таблиця 5

n R, r	п — довільне,	n = 3	n = 4	n = 6
R				a6
r

Виконання вправ

1. Сторона квадрата дорівнює 20 см. Знайдіть радіуси вписаного й описаного кіл.

2. Сторона правильного трикутника дорівнює 15 см. Знайдіть радіуси вписаного й описаного кіл.

3. Сторона правильного шестикутника дорівнює 12 см. Знай­діть радіуси вписаного й описаного кіл.

4. У правильного трикутника радіус вписаного кола вдвічі мен­ший за радіус описаного кола. Доведіть це.

Доведення

Оскільки R = , а r = , то R : r = ∙ = 2, що і треба було довести.

5. Радіус кола, описаного навколо правильного трикутника, до­рівнює 2 см. Знайдіть сторону трикутника і радіус кола, вписаного в цей трикутник.

6. Радіус кола, вписаного в правильний чотирикутник, дорівнює см. Знайдіть сторону чотирикутника і радіус кола, описа­ного навколо цього чотирикутника.

7. Радіус кола, описаного навколо правильного шестикутни­ка, дорівнює см. Знайдіть сторону цього шестикутника та діаметр кола, вписаного в цей шестикутник.

Колективне розв'язування задачі

Виразіть сторону а_п правильного n-кутника через радіус R описаного навколо нього і радіус r вписаного в нього кола. Об­числіть а_п, якщо п = 3, 4, 6.

Результати розв'язування задачі можна оформити у вигляді табл. 6.

Таблиця 6

R, r an	R	г
aп	2Rsin	2r tg
a3	R	2r
a4	R	2r
а6	R	r

III. Закріплення й осмислення нового матеріалу

Розв'язування задач

1. Хорда, яка перпендикулярна до радіуса й проходить через його середину, дорівнює стороні правильного вписаного три­кутника. Доведіть це.

Д оведення

Нехай AB OD,DC = CO (рис. 79). У прямокутному трикутнику ВОС катет CO дорівнює половині гіпотенузи ВО. Нехай

BO = R, тоді СО = , АВ = 2 ∙ ВС = 2 = = = R .

Отже, довжина хорди дорівнює стороні правильного трикутника.

2. Сторона правильного трикутника, вписаного в коло, дорів­нює а. Знайдіть сторону правильного шестикутника:

а) вписаного в це коло;

б) описаного навколо цього кола.

Розв'язання

Сторона правильного трикутника дорівнює а, отже, радіус описаного кола R = .

а) Радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює ра­діусу кола, описаного навколо шестикутника, і тому сто­рона цього шестикутника b = R = = .

б) Радіус кола, описаного навколо трикутника, є апофемою правильного шестикутника, і тому сторона цього шестикутника b = = = .

Відповідь, а) b = ; б) b = .

IV. Домашнє завдання

1. Вивчити формули радіусів вписаного і описаного кіл правиль­ного n-кутника.

2. Розв'язати задачі.

1. Сторона правильного вписаного в коло трикутника дорів­нює а. Знайдіть сторону квадрата, вписаного в це коло.

2. У коло радіуса 4 см вписано правильний трикутник, на сторо­ні якого побудовано квадрат. Знайдіть радіус кола, описаного навколо квадрата.

V. Підбиття підсумків уроку

Запитання до класу

1. Запишіть, як виражаються радіуси вписаного й описаного кіл правильного n-кутника через його сторону.

2. Чому дорівнюють радіуси вписаних і описаних кіл для пра­вильного трикутника, чотирикутника, шестикутника?