Аксіоми стереометрії

1. Якою б не була площина, існують точки, що їй належать, й існують точки, які не належать їй.

На рис. З точка А лежить у площині а (або належить площині а), а точка В знаходиться поза площиною а (або не належить площині а). Коротко це записується так: А ∈ а, В   а.

2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку (рис. 4).

Якщо дві різні площини мають спільні точки, то кажуть, що вони перетинаються.

3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну (рис. 5).

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Теорема про існування і єдність площини, яка проходить через дану пряму і дану точку

Через пряму і точку поза нею можна провести площину, і до того ж тільки одну (рис. 6).

Теорема про існування і єдність площини, яка проходить через три точки

Через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину, і до того ж тільки одну (рис. 7).

Якщо точки А, В, С не лежать на одній прямій, то площину, яка містить ці точки, позначають так: (ABC).

Теорема про належність прямої площині

Якщо дві точки прямої належать площині, то й уся пряма міститься в цій площині (рис. 8).

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Із цієї теореми випливає, що пряма а може лежати в площині, а може і не належати площині а. Якщо пряма і площина мають лише одну спільну точку, то кажуть, що вони перетинаються (рис. 9).

Рис. 9

Паралельність прямої і площини

Дві прямі у просторі називають паралельними. якщо вони лежать в одній площині та не перетинаються. На рис. 10 а та b паралельні. Паралельність прямих а та b позначається так: а||b.

Рис. 10

Теорема про існування єдиної прямої, паралельної даній прямій

Через точку, яка не лежить на прямій, можна провести пряму, паралельну цій прямій, до того ж тільки одну.

Ознака паралельності прямих

Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні, якщо а || b, а || с, то b || с.

Дві прямі є мимобіжними, якщо вони не лежать в одній площині. На рис. 11 прямі а і b мимобіжні.

Рис. 11

Ознака мимобіжності прямих

Якщо одна із двох прямих лежить у деякій площині, а друга пряма перетинає цю площину в точці, яка не лежить на першій прямій, то ці прямі мимобіжні.

Пряма та площина називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок. На рис. 12 пряма а та площина а паралельні. Паралельність прямої а та площини а позначається так: а||а.

Рис. 12

Ознака паралельності прямої та площини

Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині. Якщо а || b, b   а, то а||а (рис. 12).

Паралельні площини і площини, що перетинаються

Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються.

Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

На рис. 13 площини а та р паралельні. Паралельність площин а і   позначається так: а ||  .

Рис. 13

Ознака паралельності площин

Якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини паралельні відповідно двом прямим другої площини, то ці площини паралельні. Якщо a || a1, b || b1 a   b, a   a, b   a, a1    , b1   , TO a ||   (рис. 13).

Рис.14

Існування єдиної площини, паралельної даній площині

Через точку, яка не належить даній площині, можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

Властивості паралельних площин

1. Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні. На рис. 14 а|| , у перегинає а по прямій а, у перегинає р по прямій b, тоді а || b.

2. Відрізки паралельних прямих, які розташовані між паралельними площинами, рівні. На рис. 15. a||p. AB||CD, А ∈ а, С ∈ а, В ∈   D ∈  . отже, АВ = CD.

Рис. 15

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п'ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильним. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку A.

1. Скільки всього різних площин можна провести через три точки, якщо вони лежать на одній прямій?

А

Б

В

Г

Д

жодної

тільки одну

тільки дві

тільки три

безліч

2. На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1. Укажіть, які з указаних прямих є паралельними.

А

Б

В

Г

Д

АВ1 і А1С1

ВВ1 і АС

DD1 і ВВ1

А1В1 і АС

ВС і А1С1

3. Скільки площин визначають чотири точки, які не лежать в одній площині?

А

Б

В

Г

Д

тільки одну

тільки дві

тільки три

тільки чотири

безліч

4. Точки А, В, С, D не лежал, в одній площині. По якій прямій перетинаються площини ABC і ABD?

А

Б

В

Г

Д

АВ

ВС

CD

AD

АС

5. Точки К, L, М, N — відповідно середини ребер SA, АС, ВС, BS правильного тетраедра SABC. Знайдіть периметр чотирикутника KLMN, якщо ребро тетраедра дорівнює 10 см.

А

Б

В

Г

Д

5 см

10 см

20 см

30 см

40 см

6. Точки А і В лежать у площині а, а точка С — поза нею. Яке з наведених тверджень правильне?

А

Б

В

Г

Д

Пряма АС не перетинає площину а

Пряма ВС не перетинає площину а

Прямі АВ і ВС не персти маються

Прямі АВ і АС не перетинаються

Пряма АВ лежить в площині а

7. Задано дві мимобіжні прямі а і b. Скільки існує різних площин, що проходять через пряму а і є паралельними прямій b?

А

Б

В

Г

Д

жодної

одна

дві

три

безліч

8. Через кінець А відрізка АВ проведено площину а. Через кінець В і точку С відрізка АВ проведено паралельні прямі, які перетинають, площину а в точках М і N відповідно. Знайдіть, довжину відрізка CN, якщо АС: ВС = m : n, ВМ = а.

А

Б

В

Г

Д

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Дано зображення куба ABCDA1B1C1D1 Установіть відповідність між даними прямими (1—4) та паралельними їм прямими (А—Д).

1

АВ

А

СС1

2

AD

Б

DC1

3

АA1

В

D1C1

4

AВ1

Г

AD1

 

 

Д

В1С1

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Через кінці відрізка А В і внутрішню його точку С проведено паралельні прямі, що перетинають площину а в точках A1, B1, С1 (див. рисунок). Знайдіть АА1 (у см), якщо ВВ1 = 10 см, СС1 = 12 см, АС : ВС = 3 : 2.

11. Паралельні площини а і (5 перетинають сторони кута АВС в точках A1, С1 і А2, С2 відповідно. Знайдіть ВС, (у см), якщо А1В : А2В = 3 : 5, ВС2 = 15 см.

12. Дано паралелограм ABCD і площина, що його не перетинає. Через точки А, В, С, D проведено паралельні прямі, які перегинають площину в точках А1, В1, С1, D1. Знайдіть DD1 (у см), якщо АА1 = 12 смб ВВ1 = 10 см, СС1 = 3 см.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ. ВІДСТАНІ І КУТИ У ПРОСТОРІ

Кут між прямою та площиною.  Перпендикуляр до площини.Теорема про три перпендикуляри

Кутом між прямою та площиною називається кут між прямою та її проекцією на площину (рис. 1). Якщо   — кут між прямою та площиною, то 0° ≤   ≤ 90°. Кутом між похилою та площиною називаємся кут між похилою та її проекцією на дану площину (рис. 2). Якщо   — кут між похилою та площиною, то 0° <   < 90°.

Пряма, яка перетинає площину, називається перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, яка лежить у цій площині.

Перпендикулярність прямої а та площини а позначається так: а ⊥ а. На рис. З зображено пряму а, перпендикулярну до площини а.

Рис. !

Рис. 2

Рис. 3

Властивості перпендикулярних прямої та площини

1. Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї ж площини, то ці прямі паралельні. Якщо a ⊥ a та b ⊥ a, то а || b (рис. 4).

2. Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна й до іншої. Якщо a ⊥ a та а || b, то b ⊥ а (рис. 4).

3. Якщо пряма перпендикулярна до однієї із двох паралельних площин, то вона перпендикулярна й до іншої. Якщо а ||  , та a ⊥ a, то a ⊥   (рис. 5).

4. Якщо дві різні площини перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, то ці площини паралельні. Якщо a ⊥ а, та а ⊥  , то a ||   (рис. 5). Перпендикуляром, проведеним із даної точки на дану площину, називається відрізок, який з’єднує дану точку з точкою площини та лежить на прямій, перпендикулярній до площини. Кінець цього відрізка, який лежить у площині, називається основою перпендикуляра.

Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називається будь-який відрізок, який з’єднує дану точку з точкою площини та не є перпендикуляром до площини. Кінець цього відрізка , який лежить у площині, називається основою похилої.

Відрізок, який з’єднує основи перпендикуляра та похилої, проведених з однієї і тієї ж точки, називається проекцією похилої на площину.

На рис. 6 АВ — перпендикуляр до площини а, АС — похила до площини а, ВС — проекція похилої АС на площину а, В — основа перпендикуляра С — основа похилої.

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Якщо з даної точки проведено перпендикуляр та похилу, то перпендикуляр коротший за похилу.

Теорема про три перпендикуляри

Якщо пряма, яка лежить у площині, перпендикулярна до проекції похилої на цю площину, то вона перпендикулярна і до самої похилої. І навпаки: якщо пряма, яка лежить у площині, перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до самої проекції на цю площину.

На рис. 7 зображено: АО — перпендикуляр, АВ — похила, ОВ — проекція похилої, с — пряма площини. Якщо ОВ ⊥ с, то А В ⊥ с, і навпаки: якщо с ⊥ AB, то ОВ ⊥ C. Зазначимо, що пряма с на рис. 7 може і не перетинатися з похилою АВ.

Рис. 7

Двогранні кути. Лінійний кут двогранного куга. Перпендикулярність двох площин. Кут між площинами

Двогранні кути

Двогранним кутом називається фігура, яка утворена двома півплощинами зі спільною прямою, що обмежує їх (рис. 8).

Півплощини називаються гранями двогранного кута, а пряма , що обмежує півплощини, — ребром двогранного кута.

На рис. 8 а і   — грані, а — ребро двогранного кута.

Рис. 8

Лінійний кут двогранного кута

Лінійним кутам двогранного кута називається кут між променями, по яких площина. яка перпендикулярна до ребра двогранного кута, перетинає грані. На рис. 9 у ⊥ с,   — лінійний кут двогранного кута.

Щоб побудувати лінійний кут двогранного кута, можна:

1) узяти точку на ребрі двогранного кута і побудувати промені, які виходять із цієї точки, лежать на гранях двогранного кута і перпендикулярні до ребра. Кут між побудованими променями і буде лінійним кутом двогранного кута. На рис. 10 ∠BAC — лінійний кут;

2) узяти точку в одній із граней двогранного кута, опустити з неї перпендикуляр до другої грані та провести перпендикуляр до ребра двогранного кута Кут між перпендикуляром до ребра і проекцією цього перпендикуляра на другу грань й буде лінійним кутом двогранного кута. На рис. 11 ∠BAO— лінійний кут.

Рис. 9

Рис. 10

Перпендикулярність двох площин

Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, яка перпендикулярна до прямої перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих. На рис. 12 а ⊥  , бо у ⊥ с, а ⊥ b.

Ознака перпендикулярності площин

Якщо площина проходить через пряму, яка перпендикулярна до другої площини, то ці площини перпендикулярні. Якщо b ⊥ а і   проходить через b, то   ⊥ а (рис. 13).

Властивості перпендикулярних площин

1. Будь-яка площина, перпендикулярна до лінії перетину перпендикулярних площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих. Якщо a ⊥  , у ⊥ с, то а ⊥ b (рис. 12).

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

2. Якщо пряма, яка лежить в одній із двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до лінії їх перетину, то вона перпендикулярна і до другої площини. Якщо   ⊥ а, b ⊥ а, то b ⊥ а (див. рис. 13).

Кут між площинами

Кут між паралельними площинами вважається таким, що дорівнює нулю. Кутам між площинами, які перетинаються, називається кут між прямими перетину даних площин із площиною, яка перпендикулярна до лінії перегину даних площин.

Якщо у ⊥ с, то   — кут між площинами, 0°       90° (рис. 14).

Рис. 14

Відстані y просторі

Відстань від точки до площини — довжина перпендикуляра, опущеного з цієї точки на площину.

АО ⊥ а, АО — відстань від точки А до площини а (див. рис. 15).

Якщо точка лежить на площині, то відстань від точки до площини дорівнює нулю.

Відстань від точки до прямої— довжина перпендикуляра, опущеного з цієї точки на пряму.

АО — відстань від точки А до прямої а (див. рис. 16).

Якщо точка лежить на прямій, відстань від точки до прямої дорівнює нулю.

Відстань між паралельними прямими — відстань від будь-якої точки однієї прямої до другої прямої. Ця відстань дорівнює довжині спільного перпендикуляра (відрізка, перпендикулярного до цих прямих і кінці якого лежать на цих прямих).

АВ — відстань між прямими а і b (див. рис. 17).

Відстань між паралельною прямою і площиною — відстань від будь-якої точки цієї прямої до площини. Ця відстань дорівнює довжині спільного перпендикуляра (відрізка, перпендикулярного до прямої і площини, один кінець якого належить прямій, а інший — площині).

АО — відстань від прямої а до площини а (див. рис. 18).

Рис. 15

Рис. 16

Рис. 17

Рис. 18

Відстань між паралельними площинами — відстань від будь-якої точки однієї площини до другої площини. Ця відстань дорівнює довжині спільного перпендикуляра (відрізка, перпендикулярного до цих площин, кінці якого лежать у цих площинах).

АВ — відстань між площинами а і   (див. рис. 19).

Відстань між мимобіжними прямими — довжина їх спільного перпендикуляра (відрізка, перпендикулярного до прямих, кінці якого лежать на цих прямих). Ця відстань дорівнює відстані між паралельними площинами, які містять ці прямі, або дорівнює відстані від будь-якої точки однієї прямої до площини, що проходить через другу пряму і паралельна першій.

АВ — відстань між прямими а і b (див. рис. 20).

Рис. 19

Рис. 20

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Укажіть усі правильні твердження.

І. Через точку А, що не належить площині а, можна провести лише одну пряму, паралельну площині а.

II. Через точку А, що не належить площині а, можна провести лише одну площину, паралельну площині а.

IIІ. Через точку А, що не належить площині а, можна провести лише одну пряму, перпендикулярну до площини а.

IV. Через точку А, що не належить площині а, можна провести лише одну площину, перпендикулярну до площини а.

А

Б

В

Г

Д

II

II, III

І, IV

І, ІІІ, IV

II, ІІІ, IV

2. Знайдіть кут (у градусах) між площинами AA1C1C та ВВ1D1D y кубі ABCDA1B1C1D1.

А

Б

В

Г

Д

0°

60°

45°

90°

30°

3. Дві площини перетинаються під кутом 30°. Точка А. яка лежить в одній площині, знаходиться від другої площині на відстані а. Знайдіть відстань від точки А до прямої перегину цих площин.

А

Б

В

Г

Д

 

 

2а

 

а

4. ABC (рис. 2) — прямокутний трикутник (∠C = 90°, К — середина BС). Відрізок АР перпендикулярний до площини ABC. Укажіть відстань від точки Р до прямої СВ.

А

Б

В

Г

Д

РА

АС

РВ

PC

РК

5. Двогранний кут дорівнює 60°. Задано точку на одній із граней кута. Відстань від цієї точки до другої грані кута становить 4 см. Знайдіть відстань від заданої точки до ребра двогранного кута

А

Б

В

Г

Д

4

8

2

6. У кубі A BCDA знайдіть відстань між прямими А1В1 та D1D, якщо ребро куба дорівнює а.

А

Б

В

Г

Д

а

а

 

7. Із точки А до площини а проведені дві похилі АК та AN, які утворюють із площиною а кути 45° та 60° відповідно. Знайдіть довжини похилих, якщо відстань від точки А до площини а дорівнює  .

А

Б

В

Г

Д

, 2

, 2

, 

2 , 

, 

8. Кінці відрізка АВ, який не перетинає площину, віддалені від цієї площини на 3 см та 5 см відповідно. Як віддалена від цієї площини точка М, яка ділить цей відрізок у відношенні 3 : 7, починаючи від точки А?

А

Б

В

Г

Д

36

3,5

0,6

3,6

3,3

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. На рисунку зображено правильну чотирикутну піраміду SABCD, у якої всі ребра рівні. Точка М— середина ребра SC. Установіть відповідність між заданими прямими (1—4) та площинами (А—Д), що перпендикулярні до даних прямих.

1

пряма ВО

А

площина ABS

2

пряма АО

Б

площина BMD

3

пряма SO

В

площина ASC

4

пряма SC

Г

площина BSD

 

 

Д

площина ABC

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Із точки до площини проведено дві похилі, які дорівнюють 23 см і 33 см. Знайдіть довжину перпендикуляра до площини, якщо проекції похилих відносяться як 2 : 3.

11. У трикутнику ABC ∠C = 90°, АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ— медіана. Через вершину С проведено пряму СК, яка перпендикулярна до площини трикутника АВС, причому СК = 12 см. Знайдіть КМ.

12. У рівнобедреному трикутнику кут при вершині дорівнює 120°, а бічні сторони — по 10 см. Поза площиною трикутника дано точку, яка віддалена від кожної із вершин на 26 см. Знайдіть відстань від цієї точки до площини трикутника.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.



‹
›