11 клас

Тема уроку. Площа бічної і повної поверхні конуса.

Мета уроку: виведення формули для площі бічної поверхні конуса; формування вмінь знаходити площу поверхні конуса.

Обладнання: моделі конусів.

І. Перевірка домашнього завдання

1. Перевірити наявність виконаного домашнього завдання та відповіс­ти на запитання, які виникли в учнів при його виконанні.

2. Самостійна робота.

Варіант 1

1) Знайдіть об'єм циліндра, якщо площа основи циліндра дорівнює Q, а площа бічної поверхні — S. (5 балів)

2) Паралельно осі циліндра проведено переріз, який відтинає від кола основи дугу, градусна міра якої дорівнює 120°. Площа перерізу до­рівнює 16 см2, а його діагональ утворює з площиною основи кут 60°. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра. (7 балів)

Варіант 2

1) Бічна поверхня циліндра дорівнює S, а висота — Н. Знайдіть об'єм циліндра. (5 балів)

2) Паралельно осі циліндра проведено переріз, який відтинає від кола основи дугу, градусна міра якої дорівнює 60°. Площа перерізу до­рівнює 12 см2, а його діагональ утворює з твірною циліндра кут 60° . Знайдіть площу бічної поверхні циліндра. (7 балів)

Варіант З

1) Бічна поверхня циліндра дорівнює S, а довжина кола основи дорів­нює С. Знайдіть об'єм циліндра. (5 балів)

2) У циліндрі паралельно його осі проведено площину, що перетинає нижню основу циліндра по хорді, яку видно з центра цієї основи під кутом α. Діагональ утвореного перерізу нахилена до площини основи під кутом β. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо площа його основи дорівнює S. (7 балів)

Варіант 4

1) Знайдіть об'єм циліндра, якщо площа його основи дорівнює Q, а площа бічної поверхні — πS . (5 балів)

2) У циліндрі паралельно його осі проведено площину, що перетинає нижню основу циліндра по хорді, яку видно з центра цієї основи під кутом α. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо пло­ща утвореного перерізу дорівнює S. (7 балів)


Відповідь. Варіант 1.1) ; 2) 32π см2. Варіант 2. 1) ; 2) 24π см2.

Варіант 3. 1) ; 2) 4S·sin tgβ. Варіант 4. 1) ; 2) .


ІІ. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу

Пояснення матеріалу про площу бічної і повної поверхні конуса можна провести так, як це зроблено в п. 80 § 8 підручника. Можливий інший варіант пояснення, наведемо його.

Площа поверхні конуса

Бічну поверхню конуса, як і бічну поверхню циліндра, можна розгор­нути на площину, розрізавши її по твірній (рис. 170).

Розгорткою бічної поверхні конуса є круговий сектор, радіус якого Дорівнює твірній конуса, а довжина дуги сектора — довжині кола осно­ва конуса. Площею бічної поверхні конуса будемо вважати площу її розгортки. Виразимо площу бічної поверхні конуса Sбіч, через його твірну l і радіус основи R. Площа кругового сектора — розгортки бічної поверхні конуса (рис. 170) — дорівнює , де α — градусна міра дуги АА1, тому (1). Виразимо α через l і R. Оскільки довжина дуги АА1 дорівнює 2πR (довжині кола основи конуса), то 2πR = , звідси . Підставивши цей вираз у формулу (1), одержимо: .

Рис. 170

Таким чином, площа бічної поверхні конуса дорівнює добутку поло­вини довжини кола основи та твірну: Sбіч = πRl.

Площею повної поверхні конуса називається сума площ бічної пове­рхні та основи. Для обчислення площі повної поверхні конуса Sк одер­жуємо формулу

Sк = πR (l + R).

Розв'язування задач

  1. Висота конуса дорівнює 6 см, радіус основи — 8 см. Знайдіть бічну поверхню конуса. (Відповідь. 80π см2.)

  2. Твірна конуса дорівнює 5 см, висота — 4 см. Знайдіть площу його повної поверхні. (Відповідь. 24π см2.)

  3. Осьовий переріз конуса — правильний трикутник, сторона якого до­рівнює 6 см. Знайдіть бічну поверхню конуса. (Відповідь. 18π см2.)

  4. Площа осьового перерізу конуса 0,6 см2. Висота конуса дорівнює 1,2 см. Знайдіть площу повної поверхні конуса. (Відповідь. 0,9π см2.)

  5. Площа основи конуса дорівнює 36 см2, а його твірна — 10 см. Знай­діть площу бічної поверхні конуса. (Відповідь. 60 см2.)

  6. Кут між твірною і віссю конуса дорівнює 45° , а твірна — 6,5 см. Знайдіть площу бічної поверхні конуса. (Відповідь. см2.)

  7. Твірна конуса дорівнює 14 см, а кут при вершині осьового перері­зу — 60°. Знайдіть площу повної поверхні конуса. (Відповідь. 147π см2.)

  8. Твірна конуса дорівнює 8 см і утворює з площиною основи кут 60°. Знайдіть площу повної поверхні конуса. (Відповідь. 48π см2.)


III. Закріплення та осмислення знань учнів

Знаходження площі поверхні конуса

Розв'язування задач

  1. Площа основи конуса дорівнює S, а площа його поверхні — 3S. Під яким кутом нахилена твірна до площини основи? (Відповідь. 60°.)

  2. Висота конуса — 4 см, твірна — 5 см. Знайдіть кут сектора, який є розгорткою бічної поверхні конуса. (Відповідь. 216°.)

  3. За радіусом основи R і твірною конуса l знайдіть кут у розгортці бічної поверхні цього конуса. (Відповідь. .)

  4. Периметр осьового перерізу конуса дорівнює Р, кут між твірною і основою дорівнює α. Знайдіть площу бічної поверхні конуса. (Відповідь. .)

  5. Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом φ. В основу конуса вписано трикутник; у якого одна сторона дорівнює а, а про­тилежний кут дорівнює α. Знайдіть площу повної поверхні конуса. (Відповідь. .)

IV. Домашнє завдання

§ 8, п. 80; контрольне запитання № 8; задачі № 42—45 (с. 121).


V. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Чому дорівнює бічна поверхня конуса?

2) Запишіть формули для знаходження площ бічної і повної поверхні конуса.


3


‹
›