Геометрія. 8 клас. Тема 2. Прямокутник

(тренувальні вправи)

Початковий рівень

Бал 1

91. 1) Прямокутником називається...

а) чотирикутник, у якого є прямий кут;

б) паралелограм, у якого всі кути прямі.

2)На яких малюнках 70, а) - г) зображені фігури є прямокутниками?

92. Квадратом називають прямокутник, у якого... а) всі сторони рівні;

б) протилежні сторони рівні;

в) діагоналі рівні.

Бал 2

93. 1) Діагоналі будь-якого прямокутника... а) рівні; б) перпендикулярні;

2) Діагональ АС паралелограма ABCD дорівнює 20см. Знайти діагональ BD.

а) 20см; б) 10см; в) 40см; г) даних недостатньо.

3) Діагональ АС прямокутника ABCD дорівнює 20см. Знайти довжину діагоналі BD.

а) 20см; б) 10см; в) 40см; г) даних недостатньо.

4) Одна з діагоналей паралелограма 18см. Знайти суму його діагоналей.

а) 36см; б) 72см; в) даних недостатньо.

5) Одна з діагоналей прямокутника дорівнює 18см. Знайти суму його діагоналей.

а) 36см; б) 72см; в) даних недостатньо.

6) Рівність діагоналей прямокутника ...

а) випливає з належності прямокутників до паралелограмів;

б) доводиться методом рівних трикутників.

Бал 3

94. 1) Назвати властивості діагоналей прямокутника як паралелограма.

2) Назвати властивість протилежних сторін прямокутника як паралелограма.

95. Які з наведених тверджень істинні, а які — хибні?

а) Кожний прямокутник є паралелограмом;

б) кожний паралелограм є прямокутником;

в) у кожного прямокутника діагоналі рівні;

г) у кожного паралелограма діагоналі рівні.

96. 1) Знайти периметр прямокутника, якщо дві його сторони дорівнюють 5см і 10см.

а) 15см; б) 30см; в) 60см; г) даних недостатньо.

2) О - точка перетину діагоналей паралелограма ABCD (мал. 71). АС=10см. Знайти ВО.

а) 5см; б) даних недостатньо.

3) О — точка перетину діагоналей прямокутника ABCD (мал. 72). АС=10см. Знайти ОВ.

а) 5см; б) даних недостатньо.

Середній рівень

Бал 4

97. Доповнити записи.

а) Прямокутником називається ___________, у якого___________________________.

б) Діагоналі прямокутника______________________.

в) Квадратом називається прямокутник, у якого ____________________________.

98. 1) Сума двох протилежних сторін прямокутника дорівнює 12см. Знайти довжину кожної з цих сторін.

2) Сума двох паралельних сторін прямокутника дорівнює 14,2см. Знайти довжину кожної з цих сторін.

99. Знайти периметр прямокутника, якщо дві його сторони дорівнюють: 1) 3см і 7см; 2) 6см і 8см.

_________________________________________________________

100. О - точка перетину діагоналей прямокутника ABCD. Знайти:

1) АС, якщо АО=3см; 3) АО, якщо АС=10см;

2) BD, якщо DO=4см; 4) ВО, якщо BD=12см.

101. 1) Відстань між двома протилежними вершинами прямокутника дорівнює 14см. Знайти відстань від точки перетину діагоналей прямокутника до кожної з його вершин.

2) Відстань від однієї з вершин прямокутника до точки перетину його діагоналей дорівнює 8см. Знайти відстань від цієї вершини до протилежної вершини прямокутника.

102. 1) Діагональ АС прямокутника ABCD дорівнює 15см. Знайти довжину діагоналі BD.

2) Відстань між двома протилежними вершинами прямокутника дорівнює 22см. Знайти відстань між двома іншими вершинами прямокутника.

103. 1) У прямокутнику ABCD AC+BD=26 см. Знайти довжину АС.

2) Сума двох діагоналей прямокутника дорівнює 18см. Знайти довжину кожної з діагоналей.

____________________________________________________

104. Дано прямокутник ABCD. Довести, що:

1) ΔАВС - прямокутний; 2) ΔBCD - прямокутний.

105. Чому дорівнює сума градусних мір:

1) двох будь-яких кутів прямокутника;

2) трьох будь-яких кутів прямокутника?

106. 1) Діагональ АС прямокутника ABCD утворює із стороною AD кут, що дорівнює 20°. Який кут утворює ця діагональ із стороною АВ?

2) Діагональ BD прямокутника ABCD утворює із стороною ВА кут, що дорівнює 40°. Який кут утворює ця діагональ із стороною ВС?

Бал 5

107. 1) Одна із сторін прямокутника дорівнює 6см, а інша - у три рази більша від неї. Знайти периметр прямокутника.

2) Одна із сторін прямокутника дорівнює 6см, а інша - на 3см більша від неї. Знайти периметр прямокутника.

108. О - точка перетину діагоналей прямокутника ABCD. Знайти довжину діагоналей АС і BD, якщо: 1) АО=6см; 2) DO = 8см.

109. О - точка перетину діагоналей АС і BD прямокутника ABCD. Знайти відстань від точки О до кожної з вершин прямокутника, якщо: 1) АС=12см; 2) BD=20см.

110. О - точка перетину діагоналей прямокутника ABCD. Довести, що:

1) ΔАОВ - рівнобедрений; 2) ΔCOD — рівнобедрений.

111. 1) О - точка перетину діагоналей прямокутника MNKL. Відомо, що коло з центром у точці О проходить через першину М. Чи проходить це коло через три інші вершини прямокутника MNKL1 Відповідь обгрунтувати.

2) О - точка перетину діагоналей прямокутника ABCD. Чи проходить коло з центром у точці О радіуса ОА через точки В, С і D? Відповідь обгрунтувати.

112. О - точка перетину діагоналей прямокутника ABCD (мал. 73). Знайти:

1) ООА, якщо OAD=30°;

2) ОВА, якщо OAB=70°. Відповідь обґрунтувати.

Бал 6

113. 1) Одна із сторін прямокутника дорівнює 10см, а його периметр дорівнює 36см. Знайти довжину сторони, що сусідня з даною.

2) Одна із сторін прямокутника дорівнює 14см, а його периметр дорівнює 40см. Знайти довжину інших сторін прямокутника.

114. Знайти сторони прямокутника, якщо:

1) його периметр дорівнює 54см, а одна із сторін на 3см більша за іншу;

2) його периметр дорівнює 32см, а одна із сторін на 4см менша за іншу.

115. Знайти сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 40см, а дві сторони відносяться, як: 1)2:3; 2)7:3.

116. О - точка перетину діагоналей прямокутника ABCD (мал. 74). Знайти:

1) периметр AAOD, якщо AD=10см і АС=16см;

2) діагональ АС, якщо Р _ΔАОD=28см, ,АD=12см;

3) сторону ВС, якщо Р _ΔВОС=28см і АС=20см.

117. 1) Довести, що коли у паралелограма один кут прямий, то він є прямокутником.

2) Довести, що коли у паралелограма один кут прямий, то його діагоналі рівні.

118. О - точка перетину діагоналей прямокутника ABCD. Знайти:

1) кут AOD, якщо CAD=40°;

2) кут АОВ, якщо ABD=68°.

_____________________________________________________-

119. 1) Діагональ прямокутника поділяє його кут на два кути, різниця яких дорівнює 20°. Знайти ці кути.

2) Діагональ прямокутника поділяє його на два кути, один з яких на 10° більший від другого. Знайти ці кути.

120. 1) Діагональ прямокутника поділяє його кут на два кути, один з яких у 4 рази більший від другого. Знайти ці кути.

2) Градусні міри кутів, що утворює діагональ прямокутника з його сторонами, відносяться, як 2:7. Знайти градусні міри цих кутів.

Достатній рівень

Бал 7

121. Чи є паралелограм прямокутником, якщо:

а) різниця діагоналей паралелограма дорівнює 2см;

б) перетину діагоналей паралелограма знаходиться від двох його вершин на відстанях, що дорівнюють 3см і 4см;

в) діагоналі паралелограма утворюють із стороною кути, що дорівнюють 30° і 50°;

г) колу з центром у точці перетину діагоналей належать тільки дві протилежні його вершини;

д) різниця кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, дорівнює 10°.

Відповіді обґрунтувати.

122. Які з тверджень є істинними, а які - хибними?

а) Будь-який паралелограм є прямокутником.

б) Будь-який прямокутник є паралелограмом.

в) Існують паралелограми, в яких діагоналі нерівні.

г) Існують прямокутники, в яких діагоналі нерівні.

д) Якщо діагоналі паралелограма нерівні, то він не є прямокутником.

е) Якщо кути паралелограма, прилеглі до однієї сторони, нерівні, то він не є прямокутником.

123. 1) З рівності яких фігур виводять рівність діагоналей прямокутника при доведенні відповідної теореми?

2) На яку ознаку рівності трикутників спираються при доведенні теореми про діагоналі прямокутника?

124. 1) Довести, що перпендикуляр, опущений з точки перетину діагоналей прямокутника до однієї з його сторін, поділяє її навпіл.

2) Довести, що відрізок, який сполучає точку перетину діагоналей прямокутника із серединою однієї з його сторін, перпендикулярний до цієї сторони.

125. 1) Довести, що коли у паралелограмі сума двох протилежних кутів дорівнює 180°, то він є прямокутником.

2) Довести, що коли у паралелограмі кути, прилеглі до однієї з його сторін, рівні, то він є прямокутником.

_________________________________________________

126. Периметр трикутника, утвореного стороною прямокутника і відрізками, що сполучають її кінці з точкою перетину діагоналей, дорівнює 22см. Знайти довжину діагоналі прямокутника, якщо вона більша за дану сторону на: 1) 2см; 2) 6см.

127. Сторона прямокутника відноситься до діагоналі, як 2:3. Знайти їх довжину, якщо периметр трикутника, утвореного цією стороною і відрізками, що сполучають її кінці з точками перетину діагоналей, дорівнює: 1) 20см; 2) 55см.

128. Знайти градусну міру гострого кута, утвореного при перетині діагоналей прямокутника, якщо діагональ поділяє кут прямокутника на кути:

1) різниця яких дорівнює 20°; 2) відношення яких дорівнює 2:3.

129. Знайти градусну міру тупого кута, утвореного при перетині діагоналей прямокутника, якщо діагональ поділяє кут прямокутника на кути:

1) різниця яких дорівнює 10°; 2) відношення яких дорівнює 2:7.

Бал 8

130. 1) Через точку М, що належить гіпотенузі АВ прямокутного трикутника ABC, проведено пряму, паралельну катету ВС, що перетинає катет АС у точці О, і пряму, паралельну катету АС, що перетинає катет ВС у точці Р. Довести, що чотирикутник СОМР є прямокутником.

2) З точки Р, що належить гіпотенузі АВ прямокутного трикутника ABC, опущено перпендикуляр РМ до катета АС і перпендикуляр PN до катета ВС. Довести, що чотирикутник CMPN є прямокутником.

131. Побудувати за допомогою циркуля і лінійки прямокутник, у якого:

1 ) сторона дорівнює відрізку завдовжки а, а діагональ - відрізку завдовжки d (мал. 75);

2) діагональ дорівнює відрізку завдовжки т, а кут між діагоналями — куту α (мал. 76).

Бал 9

132. 1) Довести, що коли у паралелограмі діагоналі рівні, то його кути рівні.

2) Довести, що коли у паралелограмі діагоналі рівні, то він є прямокутником.

3) Довести, що коли діагоналі паралелограма утворюють із стороною рівні кути, то він є прямокутником.

133. 1) Довести, що коли бісектриса кута прямокутника поділяє сторону, яку вона перетинає, навпіл, то одна із сторін прямокутника у два рази більша за іншу.

2) Одна із сторін прямокутника в два рази більша за іншу. Довести, що промінь, який виходить з вершини кута прямокутника і перетинає більшу його сторону в її середині, є бісектрисою цього кута.

134. 1) Довести, що коли в прямокутнику сторона дорівнює половині діагоналі, то кут між ними дорівнює 60°.

2) Довести, що коли діагональ прямокутника в два рази більша за одну з його сторін, то вона поділяє кут прямокутника на кути, що відносяться, як 2:1.

Достатній рівень

Бал 10

135. 1) Діагональ прямокутника у два рази більша за одну з його сторін. Знайти градусну міру гострого кута, що утворюється при перетині діагоналей прямокутника.

2) Відношення однієї із сторін прямокутника до його діагоналі дорівнює . Знайти градусну міру тупого кута, що утворюється при перетині діагоналей прямокутника.

136. 1) Довести, що коли в опуклому чотирикутнику всі кути прямі, то він є прямокутником.

2) а) Відомо, що в опуклому чотирикутнику три кути прямі. Довести, що цей чотирикутник є прямокутником.

б ) Проілюструвати малюнками хибність твердження: якщо в чотирикутнику є хоча б два прямі кути, то він є прямокутником.

___________________________________________________

137. У рівнобедрений трикутник вписано прямокутник, який має з трикутником спільний кут (мал. 77). Довести, що периметр прямокутника не залежить від положення на гіпотенузі його вершини.

Бал 11

138. 1) Послідовно сполучили кінці двох діаметрів кола. Довести, що утворений чотирикутник є прямокутником.

2) Довести, що кут, вершина якого лежить на колі, а сторони проходять через кінці одного і того ж діаметра, є прямим.

139. 1) Перпендикуляр, проведений з вершини прямого кута прямокутника до однієї з його діагоналей, поділяє її у відношенні 1:3. Довести, що половина діагоналі прямокутника дорівнює одній з його сторін.

2) Одна із сторін прямокутника у два рази менша за його діагональ. Довести, що перпендикуляр, проведений з вершини прямого кута до діагоналі, поділяє її у відношенні 1:3.

_______________________________________________________

140. Бісектриси кутів А і D прямокутника ABCD перетинаються в точці О, що лежить поза прямокутником, а сторону ВС вони перетинають відповідно в точках М і К. Знайти довжину сторін прямокутника ABCD, якщо відстань від точки О до сторони AD і відстань між точками М і К відповідно дорівнюють:

1) 5см і 2см; 2) 14см і 8см.

________________________________________________________

141. 1) Бісектриси кутів А і D прямокутника ABCD перетинаються в точці М, що лежить поза прямокутником, а бісектриси кутів В і С - у точці N. Точкою перетину бісектрис AM і BN є точка Р, а бісектрис DM і CN - точка К. Довести, що чотирикутник PMKN є прямокутником з рівними сторонами, тобто квадратом.

2) Бісектриси кутів М і L прямокутника LMKN перетинаються у точці А, що лежить всередині прямокутника, а бісектриси кутів N і К перетинаються в точці С. Точкою перетину бісектрис МА і КС є точка D, а бісектрис LA і NC - точка В. Довести, що чотирикутник ABCD є квадратом.

Бал 12

142. Бісектриси кутів А і D прямокутника ABCD перетинаються в точці О, що лежить всередині прямокутника, а продовження сторони ВС вони перетинають відповідно в точках М і К. Знайти довжину сторін прямокутника ABCD, якщо відстань від точки О до сторони AD і відстань між точками М і К відповідно дорівнюють: 1) 3см і 8см; 2) 10см і 28см.

_________________________________________________________________

143. 1) Довести, що в прямокутному трикутнику медіана, проведена з вершини прямого кута, дорівнює поло­нині гіпотенузи.

2) Довести, що коли медіана трикутника дорівнює половині сторони, до якої вона проведена, то трикутник є прямокутним.

3) Довести, що-коли в прямокутному трикутнику один з катетів менший за гіпотенузу в 2 рази, то гострі кути трикутника дорівнюють 30° і 60°.

Вказівка. Продовжити медіану за середину сторони по прямій на відрізок, що дорівнює цій медіані, і розглянути чотирикутник, вершинами якого є вершини даного трикутника і кінець побудованого відрізка.

144. Довести, що точки перетину бісектрис кутів паралелограма з нерівними сусідніми сторонами є вершинами прямокутника.

______________________________________

145. Довести, що кут між перпендикуляром, проведеним з першини прямокутника до його діагоналі, і іншою діагоналлю дорівнює різниці кутів, на які розбиває діагональ кут прямокутника.

146. Знайти градусну міру кута між перпендикуляром, проведеним з вершини прямокутника і іншою діагоналлю, якщо діагональ прямокутника утворює із стороною кут, що дорівнює:

1)35°; 2) 65°.

147. Знайти кути, на які поділяє кут прямокутника його діагональ, якщо кут між перпендикуляром, проведеним з вершини прямокутника до однієї з діагоналей, і іншою діагоналлю дорівнює: 1) 20°; 2) 68°.