Тема уроку. Прямокутний паралелепіпед.

Мета уроку: формування понять: прямокутний паралелепіпед, куб, лінійні виміри прямокутного паралелепіпеда; вивчення властивостей діагоналей прямокутного паралелепіпеда.

Обладнання: моделі прямокутних паралелепіпедів, схема «Види паралелепіпедів» (див. с. 45).

І. Перевірка домашнього завдання

1. Фронтальне опитування.

1) Дайте означення паралелепіпеда.

2) Сформулюйте відомі вам властивості граней і ребер паралелепіпеда.

3) Сформулюйте відомі вам властивості діагоналей паралелепіпеда.

4) Чим є для паралелепіпеда точка перетину його діагоналей?

2. Перевірити правильність виконання задач № 29 і 32 можна за до­помогою запитань. Запитання до задачі № 29

1)Яка фігура лежить в основі паралелепіпеда? (Відповідь. Парале­лограм.)

2) За якою формулою можна знайти площу основи? (Відповідь. S = ab sinγ.)

3)Чому дорівнює площа основи паралелепіпеда? (Відповідь. 24 м2.)

4) Користуючись якою теоремою, можна знайти площу бічної пове­рхні паралелепіпеда? (Відповідь. Теоремою про площу бічної по­верхні прямої призми.)

5) Чому дорівнює площа бічної поверхні паралелепіпеда? (Відпо­відь. 140 м2.)

6) Чому дорівнює повна поверхня паралелепіпеда? (Відповідь. 188 м2.)

Запитання до задачі № 32

1) Яка фігура лежить в основі паралелепіпеда? (Відповідь. Ромб.)

2) Чому дорівнює менша діагональ основи? (Відповідь, а.)

3) Чому дорівнює менша діагональ паралелепіпеда? (Відповідь. .)

4) Чому дорівнює більша діагональ основи? (Відповідь. .)

5) Чому дорівнює більша діагональ паралелепіпеда? (Відповідь. 2а, .)

3. Самостійна робота.

Наводимо дві самостійні роботи, кожну з яких подано у двох варіан­тах. Учитель обирає одну із них, яка відповідає рівню навчальних мож­ливостей класу.

Самостійна робота № 1

В основі прямого паралелепіпеда лежить ромб. Висота паралелепіпе­да дорівнює 8 см, діагоналі паралелепіпеда дорівнюють:

варіант 1 — 10 см і см;

варіант 2 — 17 см і 10 см. Знайдіть:

а) довжину більшої діагоналі основи; (2 бали)

б) меншу діагональ основи; (2 бали)

в) сторону основи паралелепіпеда; (2 бали)

г) площу основи паралелепіпеда; (2 бали)

д) площу бічної поверхні паралелепіпеда; (2 бали)

е) кут нахилу більшої діагоналі паралелепіпеда до площини основи. (2 бали) Відповідь.

Варіант 1. а) 6 см; б) 5 см; в) см; г) 15 см2; д) 16 см2; е) arcsin .

Варіант 2. а) 15 см; б) 6 см; в) см; г) 45 см2; д) 48 см2; е) arcsin .

Самостійна робота № 2

В основі прямого паралелепіпеда лежить ромб, менша діагональ якого дорівнює d. Більша діагональ паралелепіпеда дорівнює 2d і утворює кут α :

варіант 1 — з бічним ребром;

варіант 2 — з основою паралелепіпеда.

Знайдіть:

а) довжину бічного ребра; (2 бали)

б) більшу діагональ основи; (2 бали)

в) площу основи паралелепіпеда; (2 бали)

г) довжину сторони основи; (2 бали)

д) площу бічної поверхні паралелепіпеда; (2 бали)

е) кут нахилу меншої діагоналі паралелепіпеда до площини основи. (2 бали)

Відповідь.

Варіант 1. a) 2dcosα; б) 2dsinα; в) d2sinα; г) ; д) ; е) arctg (2 cos α).

Варіант 2. а) 2dsinα;6) 2dcosα; в) d2cosα; г) ; д) ; e) arctg (2 sin α).

II. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу

Прямокутний паралелепіпед

Прямий паралелепіпед, у якого основою є прямокутник, називаєть­ся прямокутним, паралелепіпедом (схема «Види паралелепіпедів»).

Демонструються моделі прямокутних паралелепіпедів.

Усі грані прямокутного паралелепіпеда — прямокутники. Усі діаго­налі прямокутного паралелепіпеда рівні. Довжини непаралельних ребер прямокутного паралелепіпеда називають його розмірами (вимірами). У прямокутного паралелепіпеда три лінійні виміри.

Прямокутний паралелепіпед, у якого лінійні виміри рівні, нази­вається кубом.

Демонструється модель куба.

Далі формулюємо й доводимо теорему про квадрат діагоналі прямо­кутного паралелепіпеда.

Наводимо зразки записів на дошці і в зошитах учнів.

Теорема

Дано: АВСDА1B1С1D1 — прямокутний паралелепіпед; А1С = d, АВ = а, AD = b, АА1 = с (рис. 58. с. 50).

Довести: d2 = a2 + b2 + c2.

Доведення

Із ΔАОС AC2 = AD2 + DC2 = a2 + b2.

Із ΔАА1С А1С2 = АС2 + AA = a2 + b2 + с2; d2 = a2 + b2 + с2 ·


Розв'язування задач

  1. Задача № 35 (1; 2) (с. 79).

  2. Знайдіть третій вимір прямокутного паралелепіпеда, якщо два його виміри дорівнюють 6 і 7 см, а діагональ паралелепіпеда дорівнює 11 см. (Відповідь. 6 см.)

  3. У прямокутному паралелепіпеді сторони основи дорівнюють а і b. Діагональ паралелепіпеда утворює з площиною основи кут α . Знайдіть бічне ребро. (Відповідь. tgα.)

  4. У прямокутному паралелепіпеді діагональ d утворює з площиною основи кут α , а з бічною гранню — кут β. Знайдіть виміри парале­лепіпеда. (Відповідь. d sin β; ; d sin α.)

  5. Знайдіть виміри прямокутного паралелепіпеда, якщо площі трьох його граней дорівнюють S1, S2, S3. (Відповідь. ; ; .)

  6. Знайдіть діагоналі прямокутного паралелепіпеда, якщо діагоналі його граней мають довжину d1, d2, d3 . (Відповідь. .)

  7. Доведіть, що якщо діагональ прямокутного паралелепіпеда утворює з площинами його граней кути α , β, γ, то sin2 α + sin2β + sin2 γ = 1.

Доведення

Нехай в прямокутному паралелепіпеді ABCDA1B1C1D1 (рис. 59) <B1DC1=α, <Β1DΑ1 = β, <B1DB = γ, B1D = d.

Із ΔΒ1DC1 ΒB1 = d sin α.

Із ΔB1DA1 Α1Β1 = d sin β.

Із ΔB1DB BB1 = d sin γ.

Враховуючи властивість діагоналі прямокутного паралелепіпеда, маємо:

Β1Β2 = В1С2 + Β1Α12 + В1В2, або d2 = d2 sin2 α + d2 sin2 β + d2 sin2 γ,

звід­си: sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 1.

  1. Кути, які утворює діагональ прямокутного паралелепіпеда з його ре­брами, дорівнюють α , β, γ. Доведіть, що cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.

  2. Задача № 39 (с. 79).

  3. Задача № 40 (с. 79).

  4. Задача № 36* (с. 79).


III. Домашнє завдання

§ 5, π. 45—46; контрольні запитання № 23—26; задачі № 35 (3), 37, 38 (с. 79). Підготуватися до тематичного оцінювання № 1.

IV. Підведення підсумку уроку

Підведення підсумку уроку можна провести у формі математичного диктанту № 1. Якщо рівень реальних навчальних можливостей учнів класу досить високий, то можна провести математичний диктант № 2.

Математичний диктант № 1

В иміри прямокутного паралелепіпеда дорівнюють:

в аріант 1—3 см, 2 см і 6 см (рис. 60);

варіант 2—2 см, 4 см і 4 см (рис. 61).

Знайдіть:

а) довжину діагоналі паралелепіпеда;

б) довжину діагоналі найменшої грані;

в) площу найбільшої грані;

г) площу найменшої грані;

д) площу поверхні паралелепіпеда;

е) суму відстаней від точки перетину діагоналей паралелепіпеда до всіх його вершин.

Відповідь. Варіант 1. а) 7 см; б) см; в) 18 см2; г) 6 см2; д) 72 см2; е) 28 см.

Варіант 2. а) 6 см; б) см; в) 16 см2; г) 8 см2; д) 64 см2; е) 24 см.


Математичний диктант № 2

У прямокутному паралелепіпеді діагональ утворює з основою кут α , а з бічною гранню кут β.

варіант 1: бічне ребро дорівнює Η (рис. 62);

варіант 2: діагональ основи дорівнює d (рис. 63).

Знайдіть:

а) діагональ паралелепіпеда;

б) сторону основи, яка лежить проти кута β;

в) другу сторону основи паралелепіпеда;

г) площу діагонального перерізу.

Відповідь. Варіант 1.а) ; б) ; в) ; г) H2сtgα.

Варіант 2. а) ; б) ; в) ; г) d2tga.


4

Роганін геометрія 11 клас, Урок 8

‹
›