Відповідь.

Розв'язання задачі № 23

S_біч= pl = (2+3+4)·5 = 9·5 = 45 (см²).

Відповідь. 45 см².

Розв'язання задачі № 25

Нехай АВСА₁B₁С₁ — правильна призма (рис. 50); АВ = l; В₁М = MB.

Проведемо ВК АС, тоді МК АС (за теоремою про три перпендикуля-ри), отже, <MKB — лінійний кут двогранного кута, <MKB = 45°.

S_біч = 3АВ · ΒВ₁ = 3l ·ΒΒ₁.

Із ΔΑΒΚ BK = AB · sin<BAK = lsin60⁰ = l .

Із ΔМКВ BM = KВ · tg <MКB = l·tg45° = .

S_біч = 3l · 2ВМ =3l · 2 = 3 l² .

Відповідь. 3 l².

2. Математичний диктант.

Наводимо два математичні диктанти. Учитель обирає один із них, який відповідає рівню навчальних можливостей класу.

Математичний диктант № 1

Більша діагональ правильної шестикутної призми дорівнює d і утворює кут α :

варіант 1 — з основою призми (рис. 51);

в аріант 2 — з бічним ребром (рис. 52).

Знайдіть:

а) висоту призми; (2 бали)

б) більшу діагональ основи; (2 бали)

в) сторону основи призми; (2 бали)

г) площу основи; (2 бали)

д) площу найбільшого діагонального перерізу; (2 бали)

е) площу бічної поверхні призми. (2 бали)

В ідповідь. Варіант 1. a) d sin α; б) d cos α; в) d cos α;

г) ; д) d²sin 2α ; е) d²sin 2α .

Варіант 2. a) d cos α; б) d sin α; в) d sin α; г) ;

д) d²sin 2α;e) d²sin 2α .

Математичний диктант №2

У похилій призмі всі ребра дорівнюють а. Одна із вершин верхньої основи проектується в центр кола, описаного навколо нижньої основи. В основі призми лежить:

варіант 1 — трикутник (рис. 53);

варіант 2 — квадрат (рис. 54).

Знайдіть:

а) радіус кола, описаного навколо основи; (2 бали)

б) висоту призми; (2 бали)

в) радіус кола, вписаного в основу; (2 бали)

г ) висоту ромба АА₁В₁В; (2 бали)

д) площу грані АА₁В₁В; (2 бали)

е) величину кута А₁АВ. (2 бали)

Відповідь. Варіант 1. а) . б) ; в) ; г) ; д) ; e)60º.

Варіант 2. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;е) 60º.

II. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу

Види паралелепіпедів

Паралелепіпедом називається призма, основа якої — паралелограм.

Демонструються моделі паралелепіпедів.

Усі шість граней паралелепіпеда — паралелограми (рис. 54). Проти­лежні грані паралелепіпеда рівні й лежать у паралельних площинах, протилежні ребра рівні й паралельні (чому?).

Розглядаємо теорему 5.2. Доведення цієї теореми нескладне, тому можна запропонувати учням довести її самостійно або розібрати дове­дення її за підручником, а потім проаналізувати.

Д алі вивчаємо питання про властивість діагоналей паралелепіпеда. Доведення теореми 5.3 нескладне, тому доцільно запропонувати уч­ням самостійно розглянути доведення цієї теореми (п. 44 § 5) за підруч­ником. Після знайомства з доведенням провести фронтальне опитуван­ня, використовуючи рис. 104 підручника.

Запитання до класу

1) Чому А₁А₄ || А'₂А'₃ ?

2) Чому А₁А'₃ || А₄А'₃ ?

3) Чому А₁А'₃ і А₄А'₂ перетинаються в точці О і діляться нею пополам?

4) Чому чотирикутник А₁А₂А'₃А'₄ — паралелограм?

5) Чому діагоналі А₁А'₃ і А₃А'₁ перетинаються в точці О і діляться нею пополам?

6 ) Чим є середина будь-якої діагоналі паралелепіпеда для цього пара­лелепіпеда?

Паралелепіпеди можуть бути прямими і похилими (схема «Види па­ралелепіпедів»),

Паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площини основи, називається прямим паралелепіпедом. У ньому всі бічні гра­ні— прямокутники, а основи — паралелограми.

Демонструються моделі прямих паралелепіпедів.

Якщо бічні ребра паралелепіпеда не перпендикулярні до площи­ни основи, то паралелепіпед називається похилим.

Демонструються моделі похилого паралелепіпеда.

З іншими видами паралелепіпедів ми детальніше познайомимо учнів на наступному уроці.

Розв'язування задач

1. Задача № 26 (с. 78).

2. Задача № 28 (с. 78).

3. Задача № 30 (с. 78).

4. Задача № 33* (с. 79).

Розв'язання

Нехай АА₁ = 5 см, АВ = 5 cm, AD = 8 cm, BD = 12 см (рис. 55). Із ΔΒΒ₁D (см).

За властивістю діагоналей паралелограма для ABCD маємо:

2(AB²+AD²) = BD² + AC², звідси: (см).

Із ΔАСС₁: (см).

Відповідь. 9 см і 13 см.

5. Доведіть, що в будь-якому паралелепіпеді сума квадратів діагона­лей дорівнює сумі квадратів всіх його ребер.

Розв'язання

Нехай ABCDA₁B₁C₁D₁ — даний паралелепіпед (рис. 56). За властиві­стю діагоналей паралелограма маємо:

для паралелограма AA₁C₁C ;

для паралелограма BB₁D₁D .

Додавши ці рівності почленно, одержимо: . . Отже, у будь-якому паралелепіпеді сума квадра­тів діагоналей дорівнює сумі квадратів всіх його ребер.

6. Основою прямого паралелепіпеда є ромб, а площі діагональних пе­рерізів дорівнюють ті п. Знайдіть бічну поверхню паралелепіпеда.

(Відповідь. .)

7 . Основа похилого паралелепіпеда — квадрат зі стороною а. Одна з вершин другої основи проектується в центр цього квадрата. Висота паралелепіпеда дорівнює Н. Знайдіть бічну поверхню паралелепіпеда.

Розв'язання

Нехай у паралелепіпеді ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 57) ABCD — квадрат, A₁O (АВС), точ­ка О — центр квадрата, A₁O = Н, АВ = а.

Проведемо OK AD, ОМ АВ; тоді А₁К AD, Α₁Μ АВ (за теоремою про три перпендикуляри), тобто A₁K і А₁М — висоти бічних граней ADD₁А₁ та ABB₁A₁ відповідно. ΔA₁OK =ΔΑ₁ΟΜ (A₁О — спільний катет і ОК = ОМ = ); звідси: A₁K = А₁М. Оскіль­ки AD = АВ і А₁K = А₁М , то , тому .

Із ΔA₁ОM .

Тоді

Відповідь. .

III. Домашнє завдання

§ 5, п. 43—44; контрольні запитання № 19—22; задачі № 29; 32 (с. 78—79).

IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Дайте означення паралелепіпеда.

2) Назвіть основні властивості паралелепіпеда.

3) Який паралелепіпед називається прямим; похилим?

4) Укажіть, які з наведених нижче тверджень правильні, а які — не­правильні:

а) у прямому паралелепіпеді бічне ребро перпендикулярне до сторін основи;

б) бічне ребро паралелепіпеда перпендикулярне до діагоналей основи;

в) у прямому паралелепіпеді всі діагоналі рівні;

г) у прямому паралелепіпеді діагональні перерізи перпендикулярні до площини основи;

д) існує похилий паралелепіпед з рівними діагональними перерізами;

е) існує прямий паралелепіпед з рівними діагональними перерізами.

5

Роганін геометрія 11 клас, урок 7