Число натуральних дільників
Якщо число a можна представити у вигляді добутку простих множників
a = 
α 
qβ , де 
q – різні прості числа, то кількість усіх додатних дільників a дорівнює ( 
+ 1) 
(β + 1).
Приклад 1. Скільки дільників у числа 1010?
Розв’язання
Оскільки 1010 = (2 
5)10 = 210 
510, то кількість усіх дільників
дорівнює (10+1) 
(10+1) = 11 
11 = 121.
Відповідь: 121.
Приклад 2. Скільки дільників має число 250 
52 
610?
Розв’язання
Представимо дане число у вигляді добутку простих множників:
250
52 
610 = 250 
52 
210 
310 = 260 
52 
310,
тому кількість дільників 61
3 
11= 2013.
Відповідь: 2013.
Задачі для самостійного розв’язування
1. Скільки дільників має число 23
32 
35?
(48)
2. Скільки дільників у числа 100?
(9)
3. Скільки дільників має число 972004?
(2005)
4. Які натуральні числа мають рівно три натуральні дільники?
(квадрати простих чисел)
5. Які натуральні числа мають непарну кількість додатних дільників?
(квадрати натуральних чисел)
9. НСД і НСК
Множина всіх спільних дільників цілих чисел m і n– скінченна, і тому має найбільший спільний дільник (НСД). Правила, за якими знаходять НСД і НСК чисел а і b учні вивчили у 6 класі.
Найбільшим спільним дільником двох цілих чисел a та b, які одночасно не дорівнюють нулю, називається таке найбільше ціле число d, на яке a та b діляться без остачі.
Цей факт позначається так: d = НСД(a, b).
Якщо обидва числа дорівнюють нулю, то НСД(0, 0) = 0.
Виходячи з означення, мають місце наступні співвідношення:
НСД(a, b) = НСД(b, a),
НСД(a, b) = НСД(-a, b),
НСД(a, 0) = |a|.
Найменшим спільним кратним двох цілих чисел a та b називається найменше додатне ціле число, кратне як a, так і b.
Якщо a = 
, b = 
, то
НСД(a, b) = 
,
НСК(a, b) = 
.
Існує ще один спосіб знаходження НСД – алгоритм Евкліда.
Евклід – давньогрецький математик, що жив у ІІІ ст. до н.е. В своїй праці «Начала» він описав спосіб знаходження НСД натуральних чисел.
Щоб знайти НСД двох чисел, використовуючи алгоритм Евкліда, необхідно:
1) Поділити більше з них на менше, дістанемо неповну частку і остачу;
2) Ділимо менше з даних чисел на здобуту (першу остачу) і дістанемо другу неповну частку і остачу;
3) Ділимо першу остачу на другу і т.д., при цьому остача зменшується;
4) Ділимо до тих пір, поки остача не стане рівною 0.
Остання відмінна від нуля остача і є шуканий НСД двох чисел.
Приклад 1. Знайти НСД (200; 375).
Розв’язання
Використаємо алгоритм Евкліда:
-
375
200
200
1
200
175
175
1
175
25
175
7
0
Отже, НСД (200; 375) = 25.
Відповідь: 25.
Приклад 2. У кошику менше, ніж 100 яблук. Їх можна розділити порівну між 2, 3 і 5 дітьми, але не можна розділити між 4. Скільки яблук у кошику?
Розв’язання
Знайдемо НСК (2, 3, 5) = 30. Тому спільними кратними будуть числа 60, 90, … Оскільки яблук має бути менше 100 і їх кількість не ділиться на 4, то в кошику 30 або 90 яблук.
Відповідь: 30 або 90 яблук.
Задачі для самостійного розв’язання
1. НСК (х; у) = 90; НСД (х; у) = 6, причому х і у не діляться одне на одне. Знайдіть х і у.
(18 і 30)
2. НСК двох чисел, які не діляться одне на одне, дорівнює 630, а їх НСД дорівнює 18. Знайти ці числа.
(90 і 126)
3. Жінка йшла на базар і несла у кошику яйця. Хтось штовхнув її і розбив яйця. «Скільки в тебе було яєць?» - запитав він. «Пам’ятаю, що коли розкладала їх по 2, по 3, по 4, по 5 і по 6, то кожного разу 1 яйце залишалося, а коли розкладала їх по 7, то остачі не було». Скільки яєць було в кошику, якщо їх було менше 400?
(301)
4. Яке найбільше число однакових подарунків можна зробити з 320 горіхів, 240 цукерок та 200 пряників? Скільки горіхів, цукерок і пряників у кожному подарунку?
(40)
5. Яку найбільшу кількість букетів можна скласти із 24 волошок і 32 ромашок?
(8)
6. Прямокутний аркуш паперу завдовжки 56см і завширшки 48см потрібно розрізати без відходів на найменшу кількість рівних квадратів. Скільки квадратів одержимо?
(8)
7. Дерев’яний брусок 48 х 30 х 24см потрібно розрізати на найменшу кількість рівних кубів. Скільки кубів одержимо?
(6)
8. Батько і син вирішили переміряти кроками відстань між двома деревами, для чого відійшли водночас від того ж самого дерева. Довжина кроку батька – 70см, сина – 56см. Знайти відстань між цими деревами, якщо відомо, що їхні сліди збіглися 10 разів.
(2520см)