Парність цілих чисел
Спроба класифікувати числа приводить до поділу їх на парні і непарні.
Парні – числа, що закінчуються парною цифрою: 0, 2, 4, 6, 8. Непарні – всі інші числа. Іншими словами, парне число, це таке ціле число n, що можна представити у вигляді n = 2k, а непарне
n = 2k + 1, де k — довільне ціле. Такий поділ є змістовним, оскільки використовується при розв’язуванні олімпіадних задач.
Варто звернути увагу на те, що сума парної кількості непарних чисел є парною. Сума будь-якої кількості парних доданків – парна. Різниця будь-якої кількості парних чисел – парна. Таким чином, парність результату не залежить від розстановки плюсів і мінусів між цілими числами, а залежить тільки від кількості непарних чисел в початковому наборі.
Сума квадратів парної кількості непарних чисел є парною.
Сума квадратів непарної кількості непарних чисел є парною.
Добуток двох послідовних чисел число парне
Приклад 1. Доведіть, що сума двох непарних чисел – число парне.
Розв’язання
Якщо а = 2n + 1, b = 2m + 1, то а + b = 2n + 2m + 2 =
=2 (n+ m+1), а це число парне. Отже, сума двох непарних чисел – число парне.
Приклад 2. Знайти всі цілі числа m і n, для яких виконується умова: m2+ m = n2+ n +2013
Розв’язання
За умовою m2+ m = n2+ n +2013,
m( m + 1) = n( n + 1) + 2013; тоді m( m + 1) - n ( n + 1) = 2013.
Оскільки добуток двох послідовних чисел число парне, то m(m+1) і n( n + 1) – парні, але 2013 – непарне число.
Виходить, що m(m+ 1) - n ( n + 1) – парні і дорівнює 2013. Цього бути не може, значить такі числа m і n не існують.
Відповідь: такі числа m і n не існують.
Приклад 3. Василько купив загальний зошит на 96 аркушів і пронумерував всі його сторінки по порядку числами від 1 до 192. Потім вирвав з цього зошита 35 аркушів і додав всі 70 чисел, що на них були написані. Чи міг він дістати 1990?
Розв’язання
Ні, не міг. Тому що на кожному аркуші сума номерів сторінок непарна, а сума 35 непарних чисел - непарна і не може дорівнювати парному числу 1990.
Відповідь: не міг.
Задачі для самостійного розв’язування
1. Знайдіть різницю між сумою перших ста парних і перших ста непарних натуральних чисел.
(100)
2. По колу вписали 2003 натуральних числа. Доведіть, що знайдуться два сусідніх числа, сума яких є парною.
3. Розставити замість зірочок знаки «+» чи «–» так, щоб одержати правильну рівність:
1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9=10.
(Рівність не виконується, бо зліва записана непарна кількість непарних чисел)
4. Чи можна в таблицю 5х5 записати числа 1, 2, …, 25 так, щоб у кожному рядку сума деяких із записаних в ньому чисел дорівнювала сумі решти чисел цього рядка?
(Ні, бо тоді сума чисел у всій таблиці була б парною, а 1+2+…25=325 - непарне число)
5. Довести, що серед будь-яких трьох цілих чисел є два числа, сума яких парна.
6. Чи можна в запису 1*2*3* …*1997 = 1*9*9*7 розставити замість зірочок знаки «+» або «–» так, щоб одержати правильну рівність.
(Ні)
7. На чудо-дереві садівник виростив 2013 бананів і 2012 апельсинів. Кожен день він зривав два плоди, а на їх місці виростав новий, притому якщо зривали два однакових плоди, то виростав апельсин, а якщо різні, то банан. Який може бути останній плід на цьому дереві?
(Банан)
8. Чи можна скласти магічний квадрат з перших 36 простих чисел?
(Ні)
9. Коник-стрибунець стрибає вздовж прямої, причому першого разу він стрибнув на 1см в якийсь бік, другого – на 2см і так далі. Доведіть, що після 2013 стрибків він не може зупинитися там, де починав.
(сума 1 + 2 + … + 2013 – непарна)
10. Сума 2010 натуральних чисел - непарне число. Яким числом - парним або непарним - є добуток цих чисел?
(парним)
11. На паралелі сьомих класів 120 учнів. Кожного дня чергують в шкільній їдальні троє. Чи можна скласти графік так, щоб кожні дві особи чергували разом рівно один раз?
(Ні)
12. Числа від 1 до 20 виписані в рядок. Гравці, по черзі розставляють між ними плюси і мінуси. Після того, як всі місця заповнені, підраховується результат. Якщо він парний, виграє перший гравець, якщо непарний - другий. Хто програє у цій грі?
(Парність результату не залежить від розстановки плюсів і мінусів, а залежить тільки від кількості непарних чисел в початковому наборі. Оскільки сума будь-якої кількості парних чисел є завжди парним числом, а їх в даному випадку 10 (тобто парне число), то виграє перший(починаючий гру) гравець).