Дистанційне навчання. 8 клас

Розв’язування прямокутних трикутників

3. Метричні співвідношення у прямокутному трикутнику

Розглянемо прямокутний трикутник АВС, ∠С = 90⁰, СН  АВ. Відрізок АН – проекція катета АС на гіпотенузу АВ, ВН – проекція катета ВС на гіпотенузу АВ (рис. 1).

С

Рис. 1

А Н В

Теорема: Квадрат висоти прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи, дорівнює добутку проекцій катетів на гіпотенузу. Квадрат катета дорівнює добутку гіпотенузи і проекції цього катета на гіпотенузи.

2. Теорема Піфагора

Теорема: У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів

катетів.

А

b c

Р ис. 2

С a В

3. Синус, косинус і тангенс гострого кута прямокутного трикутника

А

b c ВС – протилежний катет куту А

АС – прилеглий катет куту А

С a В Рис. 3

Означення: Синусом гострого кута прямокутного трикутника називають відношення протилежного катета до гіпотенузи.

Для прямокутного трикутника АВС (рис. 3) маємо:

Означення: Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називають

відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Для прямокутного трикутника АВС (рис. 3) маємо:

Означення: Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називають

відношення протилежного катета до прилеглого.

Для прямокутного трикутника АВС (рис. 3) маємо:

А що буде, коли поділити на ?

Таблиця значень

	300	450	600
		1

Виконайте інтерактивні вправи:

https://learningapps.org/view4411025

https://learningapps.org/view4576153

Приклади розв’язання

1. Сторона ромба дорівнює 13 см, а одна з його діагоналей – 10 см. Знайдіть другу діагональ ромба.

Розв’язання

В

А О С

D

Дано ромб АВСD, сторона якого АВ = 13 см, діагональ АС = 10 см. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом і в точці перетину діляться навпіл (за властивістю). Розглянемо ∆ВОС: ∠О = 90⁰, ВС = 13 см, ОС = 5 см. За теоремою Піфагора: ВС² = ВО² + ОС²,

169 = ВО² + 25,

ВО² = 144,

ВО = 12 см.

Отже, АС = 12 ∙ 2 = 24 (см)

Відповідь: 24 см.

2. Знайдіть сторони рівнобедреного трикутника, якщо його периметр дорівнює 54 см, а висота, проведена до основи, - 9 см.

Розв’язання

В

А Н С

Дано рівнобедрений трикутник АВС, АВ = ВС, ВН  АС, ВН = 9 см.

Р_∆АВС = 2АВ + АС. Розглянемо ∆ВНС (∠Н = 90⁰). За теоремою Піфагора:

ВС² = ВН² + НС², (*)

2АВ + АС = 54 см.

Нехай АВ = х см, тоді АС = (54 – 2х) см, НС = (27 – х) см.

Підставимо в (*):

81 + (27 – х)² = х²,

81 + 729 – 54х + х² = х²,

– 54х + 810 = 0,

х = 15.

АВ = 15 см, АС = 54 – 30 = 24 (см)

Відповідь: бічна сторона 15 см, основа – 24 см.

3. З точки до прямої проведено дві похилі. Довжина однієї з них дорівнює 25 см, а довжина її проекції на цю пряму – 15 см. Знайдіть довжину другої похилої, якщо вона утворює з прямою кут 30⁰.

Розв’язання

А

25

п В 15 Н 30⁰ С

З точки А до прямої п проведено дві похилі АВ і АС, АВ = 25 см, ВН – проекція АВ на пряму п, ВН = 15 см, АН  п.

Розглянемо трикутник АНВ, ∠Н = 90⁰. За теоремою Піфагора:

АВ² = АН² + ВН²,

625 = АН² + 225,

АН² = 400,

АН = 20 см.

Розглянемо ∆АНС: ∠Н = 90⁰, ∠С = 30⁰, АН = 20 см. Отже, за властивістю прямокутного трикутника з гострим кутом 30⁰, маємо , АС = 2АН = 40 см.

Відповідь: 40 см.

4. Знайдіть невідомі сторони прямокутного трикутника АВС (∠С = 90⁰), якщо

АС = 3 см,

А

3

С В

Розв’язання

∆АСВ, ∠С = 90⁰,

За теоремою Піфагора знайдемо сторону ВС:

АВ² = АС² + ВС²,

144 = 9 + ВС²,

ВС² = 135,

ВС = см.

Відповідь: АВ = 12 см, ВС = см.

5. Знайдіть значення виразу:

Розв’язання

Завдання для самостійної роботи

1. У рівнобедреному трикутнику АВС АВ = ВС = 37 см, АС = 24 см. Знайдіть висоту ВD.

2. Сторона ромба дорівнює 41 см, а одна з його діагоналей – 18 см. Знайдіть другу діагональ ромба.

3. Периметр прямокутного трикутника дорівнює 80 см, а катети відносяться як 8 : 15. Знайдіть сторони трикутника.

4. У рівнобедреному трикутнику АВС (АВ = ВС) висота АD дорівнює 8 см. Знайдіть бічну сторону трикутника, якщо ВD – DС = 2 см.

5. З точки до прямої проведено дві похилі. Довжина однієї з них дорівнює 15 см, а її проекція на цю пряму – 12 см. Знайдіть довжину другої похилої, якщо вона утворює з прямою кут 45⁰.

6. З точки до прямої проведено дві похилі, довжини яких дорівнюють 5 см і 7 см, а різниця їх проекцій на цю пряму – 4 см. Знайдіть відстань від точки до даної прямої.

7. У прямокутний трикутник вписано коло радіусом 4 см. Точка дотику поділяє гіпотенузу на відрізки, довжини яких відносяться як 10 : 3. Знайдіть сторони трикутника.

8. Знайдіть значення виразу:

9. У прямокутному трикутнику катети дорівнюють 5 см і 12 см. Знайдіть тангенс гострого кута, який лежить проти більшого катета.

10. У рівнобічній трапеції АВСD АВ = СD = 2 см, ВС = 6 см, АD = 8 см. Знайдіть кути трапеції.

11. Знайдіть невідомі сторони прямокутного трикутника АВС (∠С = 90⁰), якщо ВС = 5 см, .

12. У рівнобедреному трикутнику АВС (АВ = ВС) висота ВD дорівнює 6 см, ∠А = 24⁰. Знайдіть бічну сторону і основу трикутника.

13. Діагональ прямокутника АВСD дорівнює d. Діагональ ВD утворює зі стороною СD кут . Знайдіть сторони прямокутника.

14. У рівнобічній трапеції АВСD основи АD і ВС відповідно дорівнюють 18 см і 12 см, а бічна сторона утворює кут 30⁰ з основою. Знайдіть діагональ трапеції.

15. У прямокутній трапеції АВСD ВС ‖ АD, AB  AD, AB = 5 cм, ВС = 6 см, ∠ВСD = 135⁰. Знайдіть АD і СD трапеції.

Розв’язання

1. Відповідь: 35 см.

2. Відповідь: 80 см.

3.

А

С В

Дано трикутник АСВ, ∠С = 90⁰, АС : ВС = 8 : 15, Р_∆АСВ = 80 см.

Нехай АС = 8х см, ВС = 15х см.

Р_∆АСВ = 8х + 15х + АВ,

80 = 23х + АВ,

АВ = 80 – 23х.

За теоремою Піфагора:

АВ² = АС² + ВС²,

(80 – 23х)² = 64х² + 225х²,

6400 – 3680х + 529х² = 64х² + 225х²,

240х² – 3680х + 6400 = 0,

3х² – 46х + 80 = 0,

х₁ = 15, х₂ = 2.

х₁ = 15 не задовольняє умову задачі, бо АВ < 0.

Отже, АС = 16 см, ВС = 30 см, АВ = 34 см.

Відповідь: 16 см, 30 см, 34 см.

4. В

x + 2

D

x

А С

Нехай DС = х см, тоді ВD = (х + 2) см, ВС = (2х + 2) см.

Розглянемо ∆ADB, ∠D = 90⁰. За теоремою Піфагора:

АВ² = АD² + ВD²,

(2х + 2)² = 64 + (х + 2)²,

4х² + 8х + 4 = 64 + х² + 4х + 4,

3х² + 4х – 64 = 0,

х₁ = 4, х₂ = .

х₂ не задовольняє умову задачі.

ВС = 10 см.

Відповідь: 10 см.

5. Відповідь: см.

6. Відповідь: см.

7. А

Р

Н

О

С В

К

Точка О – центр кола, вписаного в трикутник АВС. АН = АР, ВР = ВК, СН = СК, як відрізки дотичних, проведених з однієї точки. Нехай АР = 3х см, ВР = 10х см.

АС = (3х + 4) см, ВС = (10х + 4) см, АВ = 13х см.

За теоремою Піфагора з ∆АВС (∠С = 90⁰):

АВ² = АС² + ВС²,

(13х)² = (3х + 4)² + (10х + 4)²,

60х² – 104х – 32 = 0,

15х² – 26х – 8 = 0,

х₁ = 2, х₂ = .

х₂ не задовольняє умову задачі.

Отже, АВ = 26 см, АС = 10 см, ВС = 24 см.

Відповідь: 10 см, 24 см, 26 см.

8. Відповідь: 0,25.

9. Відповідь: .

1 0. В С

А Р D

У рівнобічній трапеції АВСD (ВС ІІ АD): АВ = СD = 2 см, ВС = 6 см, АD = 8 см, ВР  АD. Розглянемо трикутник АРВ, ∠Р = 90⁰, АВ = 2 см, АР = см.

, ∠А = 45⁰.  ∠В = 45⁰.

Отже, ∠АВС = 135⁰.

Відповідь: 45⁰ і 135⁰.

11. Відповідь: 7,5 см, см.

12. Бічна сторона 14,7 см, основа – 26,8 см.

Відповідь: 14,7 см, 14,7 см і 26,8 см.

13. Відповідь: .

14. Відповідь: см.

15. Відповідь: АD = 11 см, СD = см.

Література

1. Мерзляк А. Г. Геометрія: Підруч. для 8 кл. загальноосвіт. навч. закладів / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. — Харків: Гімназія, 2008. — 208 с.

2. Збірник задач і завдань для тематичного оцінювання з геометрії для 8 класу / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір, Ю. М. Рабінович. — Харків : Гімназія, 2008. — 112 с.