Задачі, «розв’язані з кінця»

Цей вид задач можна розділити на три підвиди.

Перший підвид становлять задачі, при розв’язуванні яких учні можуть графічно побудувати «ланцюжок» послідовних дій за умовою задачі, а потім здійснювати розв’язання з кінця: виконувати певні дії, обернені тим, що подані у «ланцюжку». Саме з таких задач бажано розпочинати знайомство із задачами, які розв’язуються з кінця.

Приклад 1. Господиня продала першому покупцеві половину груш, які вона мала, та ще 5 груш, другому — половину залишку та ще 3 груші, а третьому покупцеві — половину нового залишку та ще 4 груші. Після цього в неї залишилося 2 груші. Скільки груш було в господині спочатку?

Розв’язання

Таку задачу можна ділити на етапи: перший етап — перший покупець, другий етап — другий покупець, третій етап — третій покупець. Щоб її розв’язати, потрібно почати обчислювати вирази з кінця, змінюючи при цьому ділення на множення, а віднімання на додавання.

1) (2 + 4) • 2 = 12 (груш)

2) (12 + 3) •2 = 30 (груш)

3) (30 + 5) • 2 = 70 (груш)

Відповідь: 70 груш було в господині спочатку.

Приклад 2. Магазин першого дня продав половину сувою тканини, другого дня — половину решти, а третього — половину нового залишку й останні 5 метрів. Скільки метрів було в сувої спочатку?

Розв’язання

В цій задачі розв’язання містить три кроки – треба взнати кількість метрів тканини, яка залишалась у магазині, відповідно, на початку третього, другого та першого дня. В першому кроці – дві арифметичні дії, в другому і третьому – одна.

1) (0 + 5) • 2 = 10 (м)

2) 10 • 2 = 20 (м)

3) 20 • 2 = 40 (м)

Відповідь: 40 метрів тканини було у сувої спочатку.

Другий підвид становлять задачі, в процесі розв’язування яких учні поряд з алгоритмічними прийомами в більшій мірі (порівняно з першим підвидом) залучають евристичні прийоми інтелектуальної діяльності. За змістом в цих задачах відбувається розподіл предметів переважно між трьома (двома) особами або розкладають предмети у дві (три) купки. В результаті чого відомий кінцевий результат. Треба взнати, скільки предметів було у купках (у людей) спочатку. Учні полегшать собі процес розв’язування, якщо розв’язання цих задач вони будуть оформлювати у вигляді таблиці.

Приклад 3. Три брати розподілили між собою 24 яблука так, що кожен із них отримав стільки яблук, скільки йому років. Молодший брат, який був не задоволений розподілом, бо отримав найменше від усіх яблук, запропонував: «Я залишу собі тільки половину своїх яблук, решту розділю між вами порівну. Після мене нехай спочатку середній, а потім і старший брати зроблять так само, як і я». Брати погодилися, і яблук врешті-решт у всіх стало порівну. Скільки років було кожному з братів?»

Розв’язання

Нам відомо, що яблук стало порівну. Отже, ми можемо взнати, скільки яблук стало у кожного з братів в кінці розподілу. Для цього треба 24 розділити на три. По 8 яблук стало у кожного з братів.

З цього моменту можна накреслити таблицю і заповнювати її згідно умови задачі з кінця:

Молодший брат	Середній брат	Старший брат
8	8	8
4	4	16
2	8	14
4	7	13

Потім необхідно перевірити правильність розв’язання, міркуючи від знайдених чисел. Пояснення має бути таким: молодший брат віддав половину своїх яблук середньому і старшому, порівну кожному. Отже, у молодшого залишиться 2 яблука, у середнього стане 8, а у старшого – 14 яблук, тобто на одне яблуко більше, ніж було. Коли ж ці самі операції зроблять відповідно середній і старший брати, то врешті-решт залишиться у кожного по 8 яблук. Отже, задача розв’язана правильно.

Відповідь: молодшому брату було – 4, середньому – 7, а старшому – 13 років.

Третій підвид - ігри на аналіз із кінця.

Приклад 4. У коробці знаходиться 60 сірників. За один хід можна взяти будь-яку кількість від 1 до 5 сірників. Програє той, хто не може зробити хід. Хто з гравців (починаючий чи його суперник) може забезпечити собі виграш?

Розв'язання

Проаналізуємо кінцівку такої гри. Якщо кількість сірників менша за 5, то той гравець, чия черга ходити, закінчує гру. Якщо кількість сірників більша за 6, то гра закінчиться через два або більше ходи. Якщо ж кількість сірників дорівнює 6, то гравець, чий хід передував цій позиції, точно наступним своїм ходом закінчує гру (для цього він на хід суперника в k сірників бере 6 – k сірників). Тобто така позиція є виграшною для цього гравця. Очевидно, що позиції 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 (і т. д,) сірників для нього також є виграшними, бо таким самим способом він від позиції "24 сірники" переходить до позиції "18 сірників", від "18" до "12". Отже, початкова позиція виграшна для другого гравця «6 сірників», а його виграшною стратегією є доповнення ним ходів першого гравця до 6 сірників.

Відповідь: другий гравець.

Задачі для самостійного розв’язування

1. Турист пройшов 15% всього шляху, а потім – 1/5 від того, що залишилось. В результаті він пройшов на 18км менше від половини шляху. Визначити довжину всього шляху.

(100км)

2. Після того, як пішохід пройшов 1км і половину шляху, що залишився, йому зосталося пройти третину всього шляху і один кілометр. Чому дорівнює весь шлях?

(9км)

3. Три друга-колекціонери: Денис, Сашко та Кирило домовилися зіграти три партії в шахи за умови, що той, хто програє партію, додає іншим двом гравцям ще по стільки марок, скільки у кожного вже є. Зіграли три партії. Причому програв кожний: спочатку Денис, потім – Сашко, за ним – Кирило. Після цього у кожного з них залишилось по 24 марки. Скільки марок було у кожного з друзів спочатку?

(У Дениса 39, Сашка – 21, Кирила – 12 марок)

4. 16 паличок розподілили на дві нерівні купки. Коли з першої купки переклали у другу стільки паличок, скільки у цій другій було, а потім з другої переклали у першу стільки паличок, скільки в першій залишилося, то в обох купках паличок стало порівну. Скільки паличок було у кожній купці спочатку?

( У І – 10, у ІІ – 6 паличок)

5. а) Є дві купки по 7 камінців. За хід дозволяється взяти один камінець із будь-якої купки або по камінцю з кожної купки. Програє той, хто не може зробити хід. б) Крім ходів, допустимих в пункті а) дозволяється перекладати один камінець із першої купки в другу. В усьому іншому правила ті ж самі.

(В обох пунктах виграє перший)

6. Гра починається із числа 1. За один хід дозволяється помножити наявне число на будь-яке натуральне число від 2 до 9. Виграє той, хто першим одержить число, більше 1000.

(Аналізуючи з кінця, знаходимо виграшні позиції. Це числа від 56 до 111 і від 4 до 6. Таким чином, виграє перший гравець (його перший хід - в 4, 5 або 6).

7. Гра починається із числа 2. За хід дозволяється додати до наявного числа будь-яке натуральне число, менше за нього. Виграє той, хто одержить 1000.

(Аналізуючи з кінця, знаходимо виграшні позиції: 500, 250, 125, 62, 31, 15, 7, 3. Виграє перший гравець).

8. Гра починається із числа 1000. За хід дозволяється відняти від наявного числа будь-яке, що не перевищує його, натуральне число, що є степенем двійки (1 = 2°). Виграє той, хто одержить нуль.

(Аналізуючи з кінця, знаходимо виграшні позиції. Це числа, що діляться на 3.

Виграє перший гравець. Першим ходом він може, наприклад, відняти 1, 4, 16).