ТЕМА: «Логарифмічні рівняння»

МЕТА ЗАНЯТТЯ:

• освітня: перевірити рівень засвоєння попереднього навчального матеріалу; сформувати математичні компетенції: поняття логарифмічного рівняння, найпростішого логарифмічного рівняння, здатності до застосування загальних методів розв’язування рівнянь (рівняння-наслідки та рівносильних перетворення рівнянь) та спеціальних методів розв’язування логарифмічних рівнянь (означення логарифма, потенціювання, заміни, застосування властивостей логарифма, зведення логарифмів до однієї і тієї самої основи, логарифмування), узагальнити знання студентів про рівняння, що вивчаються в курсі математики, удосконалити навички застосовування властивостей логарифмів під час розв’язання логарифмічних рівнянь.

• розвиваюча: розвивати пізнавальний інтерес, уміння використовувати сформовані знання, навички і вміння, сприяти формуванню вмінь застосовувати прийоми: порівняння та узагальнення, визначення головного, розвивати увагу, креативне мислення, пам'ять, культуру мовлення, розвивати навички самоконтролю;

• виховна: виховувати цілеспрямованість, самостійність, вміння працювати і спілкуватись в колективі, бути активним, мобільним, стійким перед труднощами, створювати ситуацію успіху для формування позитивного ставлення до себе «я можу, у мене все вийде».

ТИП ЗАНЯТТЯ: вивчення нового навчального матеріалу.

ФОРМИ ТА МЕТОДИ ПРОВЕДЕННЯ ЗАНЯТТЯ:

• робота в парах «знайди помилку товариша»,

• робота біля дошки,

• хвилинка ерудита (фронтальне опитування),

• інтерактивна вправа «Знайди пару»,

• усний рахунок,

• хвилинка ерудита «Що? Де? Коли?»,

• метод пояснення з використанням слайдів, спроектованих на екран,

• колективне розв’язування вправ,

• евристична бесіда.

МІЖПРЕДМЕТНІ ЗВ'ЯЗКИ:

• забезпечуючі: «Математика», «Інформатика»;

• забезпечувані: «Фізика», «Біологія», «Астрономія», «Музика», «Медична інформатика», «Медична хімія», «Медична біологія», «Біофізика», «Фармакологія», клінічнічні дисципліни.

СТУДЕНТИ ПОВИННІ ЗНАТИ:

• означення логарифма;

• властивості логарифмів;

• означення логарифмічного рівняння, найпростішого логарифмічного рівняння;

• основні методи розв’язування логарифмічних рівнянь.

СТУДЕНТИ ПОВИННІ ВМІТИ:

• правильно визначати вид логарифмічних рівнянь;

• правильно обирати метод для розв’язування логарифмічних рівнянь;

• розв'язувати найпростіші логарифмічні рівняння;

• розв'язувати логарифмічні рівняння різними методами;

• розв'язувати логарифмічні рівняння з використанням рівнянь-наслідків і рівносильних перетворень.

СТУДЕНТИ ПОВИННІ ВМІТИ ЗАСТОСОВУВАТИ:

• означення і властивості логарифмів;

• властивості логарифмічної функції;

• методи розв’язування логарифмічних рівнянь.

МЕТОДИЧНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ТА НАОЧНІ ЗАСОБИ :

роздатковий матеріал, таблиці, презентації, мультимедійне обладнання, підручники.

ОРГАНІЗАЦІЙНА СТРУКТУРА

ТА ЗМІСТ ЗАНЯТТЯ

1. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ МОМЕНТ

• привітання;

• облік явки студентів;

• перевірка готовності до заняття.

Позитивна установка на роботу.

Привітання викладача

Я сподіваюся, що наше заняття пройде цікаво, з великою користю для всіх. Дуже хочу, щоб ви відчували себе впевнено, щоб ви були задоволені собою. А людина тоді задоволена – коли досягає певних успіхів, долає якісь перешкоди, коли каже: «Мені це вдалось». Будьте дуже уважні протягом заняття. Думайте, питайте, пропонуйте – бо шляхом до істини нам з вами йти разом.

Правила роботи для студентів на занятті.

Мій розумний студенте, великий критику, співавторе уроку:

• Цінуй набуті знання, час, наполегливість, уважність.

• Продемонструй грамотність у виконанні поставлених завдань.

• Сприймай зацікавлено, вдумливо.

• Не бійся помилятися.

• Повір у свої сили!

• Май гарний настрій!

• Досягай успіху!

Французький письменник Анатоль Франс (1844-1924) помітив, що: «Навчатися можна весело, з гарним настроєм, посміхаючись… Щоб переварити знання, потрібно поглинати їх з апетитом». (слайд 1)

П рислухаємося до поради письменника: будемо на занятті активними, уважними і «поглинати» знання будемо з великим бажанням, адже вони скоро нам знадобляться для успішного виконання контрольної роботи, а в подальшому і успішної здачі ДПА.

Рефлексія настрою та емоційного стану «Смайлик»

О беріть смайлик, який відповідає вашому настрою. (слайд 2)

Сподіваюсь ваш настрій чудовий, сповнений бадьорості та активності. Адже лише гарний настрій підвищує працездатність, впливає на самопочуття, надає впевненості в собі, допомагає впоратися з складними ситуаціями.

2. ПЕРЕВІРКА ДОМАШНЬОГО ЗАВДАННЯ

у формі гри «знайди помилку товариша» (слайд 3-4)

Студенти обмінюються зошитами і звіряють домашнє завдання свого товариша з виконаними завданнями на екрані і оцінюють роботу.

3. АКТУАЛІЗАЦІЯ ОПОРНИХ ЗНАНЬ

(слайд 5)

Хвилинка ерудита (фронтальне опитування) (слайд 6)

1. Дати визначення показникової функції?

2. Назвати властивості показникової функції.

3. Функція обернена до показникової? Дати її визначення.

4. Назвати властивості логарифмічної функції.

5. Дати означення логарифма.

6. Які види логарифмів ми знаємо?

Інтерактивна вправа «Знайди пару» (слайд 7)

П ри розв’язуванні логарифмічних рівнянь нам не обійтись без властивостей логарифмів та деяких логарифмічних тотожностей. Студентам потрібно скласти формули, які відображують властивості логарифмів та логарифмічні тотожності. (Червоний колір початок тотожності або властивості, зелений – закінчення. Студенти об’єднують ці формули за допомогою USB-мишки, перетягуючи одну формулу до іншої.)

У сний рахунок (слайд 8)

Студентам потрібно встановити відповідність.

3. МОТИВАЦІЯ НАВЧАЛЬНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ. ОГОЛОШЕННЯ ТЕМИ ТА МЕТИ ЗАНЯТТЯ

Х вилинка ерудита «ЩО? ДЕ? КОЛИ?»

(слайд 9-17)

Напередодні студенти отримали завдання. Вони повинні були знайти застосування логарифмів в різних науках:

• «З історії розвитку логарифмів» (додаток 1)

• «Логарифмічна спіраль» (додаток 2)

• «Логарифми в фізиці та техніці» (додаток 3)

• «Логарифми в хімії» (додаток 4)

• «Логарифми в біології» (додаток 5)

• « Логарифми в музиці». (додаток 6)

Слово викладача

Вчені математики через свої праці у галузі математики прославилися на весь світ, навіть їх сучасники визнавали їх велич і по заслузі називали їх батьками, королями, музами математики.

• Кого з жінок-математиків англійський меценат ХІХ століття Джордж Сільвестр в своєму сонеті назвав «небесною музою»? (Софію Ковалевську).

(15 січня 2015 року виповнилося 165 років від дня народження відомого російського математика, письменниці і публіциста Ковалевської Софії Василівни. Маловідомий той факт, що С.Ковалевська (уродженка Круковська) має українське коріння. Її батьки з Полтавщини, були родичами сім’ї Косачів – Л.Українки.).

«…Мені здається, що поет повинен бачити те, чого не бачать інші, бачити глибше, ніж інші. Це саме повинен і математик», (С.Ковалевська ). (слайд 18)

Нагадую, що і серед студентів вашої групи є прекрасні математики, і водночас поети. Запрошую Кожедуб Христину прочитати свій акровірш, який допоможе нам визначити тему сьогоднішнього заняття. (слайд 19)

Любов до точних наук

Оспіває і зачарує,

Гарні поняття про пошук

Алгебра всім нам дарує.

Розв’яжемо всі ми рівняння,

И (І) графіки це не проблема,

Фігуру за описанням

Майстерно і швидко знайдемо.

Ігреки всі відшукаємо,

Чудово знайдемо ікси

Нині ми вже все це знаємо,

Е (Є) ж бо в нас , алгебро, ти!

Розвиває вона нас чудово

І дає на життя нам знання,

Вона вчить, як поринути знову

Нам в світ знаків для їх пізнання.

Як писати нам правильно рівності

Нас навчить, і це зовсім не гра

Наразі, із повною щирістю,

Я тобі дякую, алгебра!

Слово викладача

Отже, тема сьогоднішнього заняття – «Логарифмічні рівняння».

3. ЗАСВОЄННЯ ПОНЯТТЯ НАЙПРОСТІШИХ ЛОГАРИФМІЧНИХ РІВНЯНЬ ТА МЕТОДІВ ЇХ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ

(слайд 20 – 21)

Логарифмічними рівняннями називають рівняння, які містять змінну під знаком логарифма.

Приклади логарифмічних рівнянь:

lg х = 1 + lg²x, log₃(x + 3) = 9, = і т. д.

Розв'язати логарифмічне рівняння — це означає знайти всі його корені або довести, що рівняння коренів не має.

Найпростіше логарифмічне рівняння має вигляд

log х = b, де а > 0, а ≠ 1, х > 0. За означенням логарифма випливає, що х = а^b.

Інший вигляд найпростішого логарифмічного рівняння такий:

log_a x = log_a b, де а > 0, а ≠ 1, х > 0, b > 0.

Із цього рівняння випливає, що х = b. Дійсно із рівності log_a x = log_a b на підставі означення логарифма і основної логарифмічної тотожності маємо:

x = = b.

Найпростішим логарифмічним рівнянням є рівняння

log_x a = b, де х > 0, х ≠ 1, а> 0.

За означенням логарифма маємо: х^b = а, звідси х = .

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння log₃ (2x + 1) = 2.

Розв'язання

За означенням логарифма маємо:

2х + 1 = 3², 2х = 8, х = 4.

Перевірка: log₃(2 · 4 + 1) = log₃9 = 2.

Відповідь: 4.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння log₃x = log₃(6 – х²).

Розв'язання

Із рівності логарифмів чисел випливає: х = 6 – х²; х² + х – 6 = 0;

х₁ = -3, х₂ = 2.

Перевірка:

1. Число -3 не є коренем даного рівняння, бо вираз log₃(-3) — не визначений;

2. log₃x = log₃2; log₃(6 – х²) = log₃(6 – 2²) = log₃2.

Відповідь: 2.

Приклад 3. Розв'яжіть рівняння log_х+1 (2х² + 1) = 2.

Розв'язання

За означенням логарифма маємо:

2х² + 1 = (х + 1)²; 2х² + 1 = х² + 2х + 1; х² – 2х = 0; х₁ = 0, х₂ = 2.

Перевірка:

1) Значення х₁ = 0 не є коренем даного рівняння, оскільки основа логарифма х+ 1 не повинна дорівнювати 1.

2) log_х+1(2·2² + l) = log₃9 = 2.

Відповідь: 2.

3. СПРИЙМАННЯ І УСВІДОМЛЕННЯ РІЗНИХ МЕТОДІВ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЛОГАРИФМІЧНИХ РІВНЯНЬ.

(слайд 22)

1. Метод зведення логарифмічного рівняння до алгебраїчного.

Приклад. Розв'яжіть рівняння log х – 3log₂ x = 4.

Розв'язання

Позначимо log₂ x через у. Дане рівняння набере вигляду:

у² – 3y = 4;

у² – 3у – 4 = 0;

у₁ = 4; у₂ = -1.

Звідси log₂ x = 4, log₂ x =-1;

x = 2⁴; x = 2^-1;

x = 16, x = .

Перевірка: 1) log 16 – 3 log₂ 16 = 16 – 12 = 4;

2) log – 3 log₂ = -1 + 3 = 4.

Відповідь: 16; .

2. Метод потенціювання.

Приклад. Розв'яжіть рівняння log₅(x – 1) + log₅(x – 2) = log₅(x + 2).

Розв'язання

Пропотенціюємо дану рівність і одержимо:

log₅((x – 1)(х – 2)) = log₅(x + 2);

(х – 1)(х – 2) = х + 2;

x² – 2х – х + 2 = х + 2;

x² – 4х = 0;

х(х – 4) = 0;

х = 0 або х = 4.

Перевірка:

1. Значення х = 0 не є коренем рівняння, тому що вирази log₅(x – 1) і log₅(x – 2) не мають смислу при х = 0.

2. log₅(x–1) + log₅(x–2) = log₅(4–1) + log₅(4–2) = log₅3 + log₅2 = log₅(2·3) = log₅6.

log₅(x + 2) = log₅(4 + 2) = log₅6.

Отже, х = 4 — корінь.

Відповідь: 4.

3. Метод зведення логарифмів до однієї і тієї ж основи.

Приклад. Розв'яжіть рівняння log₃ х – 2 х = 3.

Розв'язання

log₃ x – 2 x = 3;

log₃ х – 2 · = 3;

log₃ x – 2· = 3;

log₃ x + 2log₃ x = 3;

3log₃ x = 3;

log₃ x = 1;

x = 3.

Перевірка: log₃ 3 – 2 3 = 1 + 2 = 3. Отже, х = 3 — корінь.

Відповідь: 3.

4. Метод логарифмування.

Приклад. Розв'яжіть рівняння х ^lgx = 100х.

Розв'язання

Прологарифмуємо обидві частини рівності (х > 0), одержимо:

lgx ^lgx = lg(100x);

lgx lgx = lg 100 + lgx;

lg²x – lg x – 2 = 0.

Замінимо lg х = у. Рівняння прийме вигляд:

у² – у – 2 = 0;

y₁ = 2, y₂ = -1.

Тоді: 1) lg х = 2; х = 10²; х = 100.

2) lg x = -1; x = 10^-1; x = 0,1.

Перевірка: 1) x^lgx = 100 ^lg100 = 100² ; 100х = 100 · 100 = 100².

Отже, x = 100 — корінь.

2) x^lgx = 0,1^lg0,1 = 0,1^-1 = = 10; 100х = 100 · 0,1 = 10.

Отже, x = 0,1 — корінь.

Відповідь: 100; 0,1.

3. НАБУТТЯ УМІНЬ РОЗВ'ЯЗУВАТИ ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ

(слайд 23)

Колективне розв’язування вправ за підручником Бевз Г. П. Математика 11 клас:

№ 181 (а)

183 (б)

186 (а)

187 (г)

3. ПІДВЕДЕННЯ ПІДСУМКІВ ЗАНЯТТЯ

7.1. Слово викладача

На занятті ми розширили наші знання про логарифми, познайомились з логарифмічними рівняннями, із способами розв’язування логарифмічних рівнянь, навчилися застосовувати отримані знання для рішення вправ. А зараз дайте відповіді на такі запитання.

7.2. Евристична бесіда: (слайд 24)

1. Чи існує універсальний спосіб розв’язування логарифмічних рівнянь.

2. Який спосіб використовувався найчастіше?

3. Який спосіб найбільше вам подобається?

4. Як уникнути втрати коренів та появи сторонніх коренів логарифмічних рівнянь?

5. З якими труднощами ви зустрілися? Що допомогло подолати ці труднощі?

6. Що на занятті було цікавим? Не цікавим?

7.3. Виставлення та коментар оцінок.

3. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ

(проектується на екран, слайд 25, надається усний коментар)

Г. П. Бевз, В. Г. Бевз Математика 11 клас

&5, № 172 (а, б), 174 (а, в), 182, 185 (б), 188 (а).

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Г. П. Бевз Математика: 11: підруч. для загальноосвіт. навч. закл.: рівень стандарту / Г. П. Бевз, В. Г. Бевз. – К.: Генеза, 2011. – 320 с.

2. Нелін Є.П., Долгова О.Є. Алгебра 11 клас. Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів. Академічний, профільний рівень – Х.: «Гімназія», 2011р.

3. Роганін О.М. Плани - конспекти уроків.