УРОК № 12

Тема Площа трикутника

Мета уроку: виведення формули для знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними. Формування вмінь застосовувати виведену формулу до розв'язування задач.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця «Співвідношення між сторонами і кутами трикутника»[13].

Вимоги до рівня підготовки учнів: використовують формулу для знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними під час розв'язування задач.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відповісти на запитання, які виникли в учнів при виконанні домашнього завдання.

II. Повторення й систематизація знань учнів

Запитання до класу

1. 1.   Що таке площа? Сформулюйте властивості площі.

2. 2.   Чому дорівнює площа прямокутника?

3. 3.   Чому дорівнює площа квадрата зі стороною а?

III. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Вивчення теореми

Теорема. Площа трикутника дорівнює половині добутку двох будь-яких сторін на синус кута між ними.

Доведення

Нехай трикутник ABC — даний (рис. 40).

Доведемо, що SΔABC =   AB ∙ AC ∙ sinA.

 

 

Проведемо у трикутнику ABC висоту BD. Маємо: SΔАВС =   AC ∙ BD.

Якщо кут А гострий, то із трикутника ABD маємо: BD = AB ∙ sinα (рис.40,а).

Якщо кут А прямий, то із трикутника DAB маємо: BD = AB ∙ sin90° = АВ.

Якщо кут А тупий (рис. 40, б), то BD = AB ∙ sin(180° - α) = AB sinα.

Отже, SΔABC =   AB ∙ AC ∙ sinA, що і треба було довести.

Розв'язування вправ

1. 1)  Знайдіть площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють 6 см і 5 см, а кут між ними 30°.

2. 2)  Знайдіть площу правильного трикутника зі стороною а.

Розв'язання

Оскільки трикутник ABC рівносторонній (рис. 41), то АВ = АС = ВС = а,  A =  B =  C = 60°.

 

Тоді S =  AB ∙ AC ∙ sinA =  a ∙ a ∙ sin60° =   ∙   =  .

Відповідь.  .

Учням слід порекомендувати запам'ятати цю формулу.

IV. Закріплення й осмислення нового матеріалу

Розв'язування задач

1. 1.   У трикутнику ABC АС = а, ВС = b. При якому куті С площа трикутника буде найбільшою?

Розв'язання

Оскільки S =  AC ∙ BC ∙ sinC =  ab sinC, то значення S буде найбільшим, якщо sinC = 1, тобто  C = 90°, тоді S =  ab.

Відповідь. 90°.

7.   Знайдіть площу ромба, якщо його висота дорівнює 10 см, а гострий кут становить 30°.

Розв'язання

Нехай у ромбі ABCD (рис. 43) BF AD, BF = 10 см,  BAD = 30°. Із прямокутного трикутника ABF маємо:   (см). Отже, площа ромба: S= AD ∙ BF = 20 ∙ 10 = 200 (см2).

Відповідь. 200 см2.

 

 

1. 8.   Доведіть, що коли діагоналі чотирикутника перетинаються, то площа чотирикутника дорівнює половині добутку його діагоналей на синус кута між ними.

Розв'язання

Нехай ABCD — довільний опуклий чотирикутник (рис. 44).

Доведемо, що SABCD =  AC∙ BD ∙ sinφ, де φ =  BOC.

SABCD = SΔBOC + SΔAOB + SΔAOD + SΔDOC  =  BO ∙ OC ∙ sinφ +  АО ∙ BO ∙ sin(180° - φ) +  АО ∙ DO ∙ sinφ +  DO ∙ ОС ∙ sin(180° - φ) =

=  BO ∙ OC sinφ +  АО ∙ ВО ∙ sinφ +  АО ∙ DO ∙ sinφ +  DO ∙ OC sinφ =  (BO ∙ OC+ AO ∙ BO + AO ∙ DO + DO ∙ OC) sinφ =

=  (BO ∙ (AO + OC) + DO ∙ (AO + OC)) sinφ =  (BO ∙ АС + DО ∙ АС) sinφ =  AC ∙ (BO+ DO) sinφ =  AC ∙ BD sinφ.

 

 Знайдіть радіуси описаного та вписаного кіл для трикутника зі сторонами:

а) 13, 14, 15;       б) 4, 5, 7.

Розв'язання

а) р =   = 21. S =  =   =   = 84.

R =   =   =   = 8 , r =  = 4.

Відповідь. R = 8 , r = 4. V. Домашнє завдання

1. 1.   Вивчити формулу для знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними.

2. 2.   Розв'язати задачі.

VI. Підбиття підсумків уроку

Запитання до класу

1. 1.   Чому дорівнює площа трикутника, якщо відома його сторона і висота, проведена до цієї сторони?

2. 2.   Чому дорівнює площа трикутника, якщо відомі дві сторони і кут між ними?